Страница 105 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

270. Основанием пирамиды является правильный треугольник. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, а их общее боковое ребро равно 6 см. Третья грань наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите объём пирамиды.

270. Основанием пирамиды является правильный треугольник. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, а их общее боковое ребро равно 6 см. Третья грань наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана пирамида SABC, основанием которой является правильный треугольник ABC.

По условию, две боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Пусть это будут грани SAB и SAC. Если две плоскости (SAB и SAC) перпендикулярны третьей плоскости (ABC), то линия их пересечения (ребро SA) также перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, ребро SA является высотой пирамиды H.

Из условия известно, что общее боковое ребро этих граней равно 6 см. Значит, высота пирамиды $H = SA = 6$ см.

Третья грань SBC наклонена к плоскости основания под углом $45°$. Угол между плоскостью грани SBC и плоскостью основания ABC – это двугранный угол при ребре BC. Величиной этого угла является линейный угол, образованный перпендикулярами, проведенными в каждой из плоскостей к их общей линии пересечения BC из одной точки.

Проведем в плоскости основания высоту (а также медиану) AM к стороне BC. Так как треугольник ABC правильный, то $AM \perp BC$.

SA – перпендикуляр к плоскости ABC, SM – наклонная, а AM – ее проекция на плоскость ABC. Так как проекция $AM \perp BC$, то по теореме о трех перпендикулярах и наклонная $SM \perp BC$.

Таким образом, угол $\angle SMA$ является линейным углом двугранного угла между гранью SBC и основанием ABC. По условию, $\angle SMA = 45°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SAM (угол $\angle SAM = 90°$, так как $SA \perp (ABC)$). В этом треугольнике:
Катет $SA = H = 6$ см.
$\angle SMA = 45°$.
Найдем второй катет AM:
$\tan(\angle SMA) = \frac{SA}{AM}$
$\tan(45°) = \frac{6}{AM}$
Поскольку $\tan(45°) = 1$, то $1 = \frac{6}{AM}$, откуда $AM = 6$ см.

AM является высотой правильного треугольника ABC. Пусть сторона этого треугольника равна $a$. Формула высоты правильного треугольника: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = 6$.
Найдем сторону $a$:
$a\sqrt{3} = 12$
$a = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем площадь основания $S_{ABC}$. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
$S_{ABC} = \frac{(4\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{48\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$ см².

Наконец, найдем объем пирамиды по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 6 = 4\sqrt{3} \cdot 6 = 24\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $24\sqrt{3}$ см³.

271. Грани $DAC$ и $DBC$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите объём пирамиды, если $AB = 11$ см, $AC = 30$ см, $BC = 25$ см, а расстояние от вершины $D$ до прямой $AB$ равно 26 см.

271. Грани $DAC$ и $DBC$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите объём пирамиды, если $AB = 11$ см, $AC = 30$ см, $BC = 25$ см, а расстояние от вершины $D$ до прямой $AB$ равно 26 см.

По условию задачи, грани $DAC$ и $DBC$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения граней $DAC$ и $DBC$ является ребро $DC$. Следовательно, ребро $DC$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, и, таким образом, $DC$ является высотой пирамиды $H$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. В данном случае $S_{осн} = S_{ABC}$ и $H = DC$.

1. Найдем площадь основания $S_{ABC}$.

Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле Герона, зная длины всех его сторон: $AB = 11$ см, $AC = 30$ см, $BC = 25$ см.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{11 + 30 + 25}{2} = \frac{66}{2} = 33$ см.

Теперь найдем площадь по формуле Герона:

$S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} = \sqrt{33(33-11)(33-30)(33-25)}$

$S_{ABC} = \sqrt{33 \cdot 22 \cdot 3 \cdot 8} = \sqrt{(3 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 11) \cdot 3 \cdot (2^3)} = \sqrt{3^2 \cdot 11^2 \cdot 2^4} = 3 \cdot 11 \cdot 2^2 = 33 \cdot 4 = 132$ см².

2. Найдем высоту пирамиды $DC$.

Расстояние от вершины $D$ до прямой $AB$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $K$ на прямой $AB$. Таким образом, $DK \perp AB$ и $DK = 26$ см.

Рассмотрим отрезок $CK$. Так как $DC$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$ (высота пирамиды), $DK$ — наклонная к этой плоскости, а $CK$ — ее проекция на плоскость $ABC$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $DK$ перпендикулярна прямой $AB$, лежащей в плоскости, то и ее проекция $CK$ перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $CK \perp AB$. Это означает, что $CK$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AB$.

Найдем длину высоты $CK$ из формулы площади треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CK$

$132 = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot CK$

$CK = \frac{132 \cdot 2}{11} = 12 \cdot 2 = 24$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $DCK$. Так как $DC$ перпендикулярен плоскости $ABC$, он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и $CK$. Значит, треугольник $DCK$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$. По теореме Пифагора:

$DK^2 = DC^2 + CK^2$

$DC^2 = DK^2 - CK^2 = 26^2 - 24^2 = (26 - 24)(26 + 24) = 2 \cdot 50 = 100$

$DC = \sqrt{100} = 10$ см.

3. Вычислим объем пирамиды.

Теперь, когда известны площадь основания $S_{ABC} = 132$ см² и высота $H = DC = 10$ см, мы можем найти объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot DC = \frac{1}{3} \cdot 132 \cdot 10 = 44 \cdot 10 = 440$ см³.

Ответ: 440 см³.

272. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB = 90^\circ$, $AB = c$, $\angle ABC = \beta$. Грани $DAC$ и $DAB$ перпендикулярны плоскости основания пирамиды, а грань $DBC$ наклонена к ней под углом $\varphi$. Найдите объём пирамиды.

272. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC, в котором $\angle ACB = 90^\circ$, $AB = c$, $\angle ABC = \beta$. Грани DAC и DAB перпендикулярны плоскости основания пирамиды, а грань DBC наклонена к ней под углом $\phi$. Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды $DABC$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания $ABC$, а $H$ — высота пирамиды.

По условию задачи, грани $DAC$ и $DAB$ перпендикулярны плоскости основания $(ABC)$. Так как эти плоскости пересекаются по ребру $DA$, то их линия пересечения $DA$ перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, $DA$ является высотой пирамиды, то есть $H = DA$.

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB = 90^\circ$, гипотенуза $AB = c$ и $\angle ABC = \beta$. Найдем катеты этого треугольника из тригонометрических соотношений:
$AC = AB \cdot \sin(\beta) = c \sin(\beta)$;
$BC = AB \cdot \cos(\beta) = c \cos(\beta)$.
Площадь основания $S_{осн}$ равна половине произведения катетов:$S_{осн} = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} (c \sin(\beta)) (c \cos(\beta)) = \frac{1}{2} c^2 \sin(\beta) \cos(\beta)$.

Грань $DBC$ наклонена к плоскости основания под углом $\phi$. Этот угол является двугранным углом при ребре $BC$. Для нахождения его линейного угла построим перпендикуляры к ребру $BC$ в одной точке. В плоскости основания $(ABC)$ имеем $AC \perp BC$, так как $\triangle ABC$ прямоугольный. Поскольку $DA$ — высота пирамиды ($DA \perp (ABC)$), то $AC$ является проекцией наклонной $DC$ на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $AC$ перпендикулярна $BC$, то и сама наклонная $DC$ перпендикулярна $BC$ ($DC \perp BC$). Следовательно, угол $\angle DCA$ является линейным углом двугранного угла между гранью $DBC$ и основанием. По условию, $\angle DCA = \phi$.

Рассмотрим треугольник $DAC$. Так как $DA \perp (ABC)$, то $DA \perp AC$, и $\triangle DAC$ является прямоугольным. Из этого треугольника найдем высоту пирамиды $H = DA$:
$\tan(\angle DCA) = \frac{DA}{AC} \Rightarrow \tan(\phi) = \frac{H}{AC}$.
$H = AC \cdot \tan(\phi) = c \sin(\beta) \tan(\phi)$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем найти объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} c^2 \sin(\beta) \cos(\beta)) \cdot (c \sin(\beta) \tan(\phi))$.
Упрощая выражение, получаем:
$V = \frac{1}{6} c^3 \sin^2(\beta) \cos(\beta) \tan(\phi)$.

Ответ: $V = \frac{1}{6} c^3 \sin^2(\beta) \cos(\beta) \tan(\phi)$.

273. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной $a$. Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является равнобедренным прямоугольным треугольником с гипотенузой $a$. Найдите объём пирамиды.

273. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной $a$. Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является равнобедренным прямоугольным треугольником с гипотенузой $a$. Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.
Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Найдем высоту пирамиды.
По условию, одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания. Это означает, что высота пирамиды ($H$) совпадает с высотой этой боковой грани, проведенной к стороне основания.Эта боковая грань является равнобедренным прямоугольным треугольником с гипотенузой $a$. Гипотенузой является сторона, общая с основанием пирамиды. Высота, проведенная к гипотенузе в равнобедренном прямоугольном треугольнике, также является медианой и равна половине гипотенузы.Следовательно, высота пирамиды:$H = \frac{a}{2}$

3. Вычислим объем пирамиды.
Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объема пирамиды:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{24}$
Ответ: $V = \frac{a^3\sqrt{3}}{24}$

274. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при вершине. Боковая грань пирамиды, содержащая основание этого треугольника, перпендикулярна плоскости основания, а две другие грани наклонены к ней под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды, если её высота равна $H$.

274. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при вершине. Боковая грань пирамиды, содержащая основание этого треугольника, перпендикулярна плоскости основания, а две другие грани наклонены к ней под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды, если её высота равна $H$.

Пусть $SABC$ — данная пирамида. Основание $ABC$ — равнобедренный треугольник, в котором $AB = BC$, а угол при вершине $\angle ABC = \alpha$. Боковая грань $SAC$, содержащая основание $AC$ треугольника $ABC$, перпендикулярна плоскости основания. Высота пирамиды равна $H$.

Поскольку плоскость грани $(SAC)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$, то высота пирамиды $SO$ опускается из вершины $S$ на прямую $AC$, являющуюся линией пересечения этих плоскостей. Таким образом, основание высоты $O$ лежит на стороне $AC$, и по условию $SO = H$.

Две другие боковые грани, $(SAB)$ и $(SBC)$, наклонены к плоскости основания под углом $\beta$. Угол наклона грани к плоскости основания — это двугранный угол, который измеряется линейным углом.

Для построения линейного угла для грани $(SAB)$ опустим из точки $O$ (основания высоты) перпендикуляр $OK$ на сторону $AB$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах наклонная $SK$ также будет перпендикулярна $AB$. Следовательно, угол $\angle SKO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью $(SAB)$ и плоскостью основания. По условию, $\angle SKO = \beta$.

Аналогично, для грани $(SBC)$ опустим перпендикуляр $OM$ на сторону $BC$. Тогда $SM \perp BC$, и $\angle SMO = \beta$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOK$ и $\triangle SOM$. У них общий катет $SO = H$ и равные противолежащие углы $\angle SKO = \angle SMO = \beta$. Следовательно, эти треугольники равны, и $OK = OM$.

Длину отрезков $OK$ и $OM$ можно найти из треугольника $\triangle SOK$:$ \cot(\beta) = \frac{OK}{SO} = \frac{OK}{H} $Отсюда $OK = H \cdot \cot(\beta)$. Значит, $OK = OM = H \cdot \cot(\beta)$.

В плоскости основания точка $O$, лежащая на $AC$, равноудалена от сторон $AB$ и $BC$. Это означает, что точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса, проведённая из вершины $B$, является также медианой и высотой. Пусть $BD$ — высота, медиана и биссектриса треугольника $ABC$. Тогда точка $O$ совпадает с точкой $D$, то есть высота пирамиды падает в середину основания $AC$.

Теперь найдём площадь основания $S_{ABC}$. Для этого нам нужно найти длину высоты $BD$ и основания $AC$.

Рассмотрим в плоскости основания прямоугольный треугольник, образованный высотой $BD$ и перпендикуляром $DK$ (где $O \equiv D$). Треугольник $\triangle BDK$ является прямоугольным (т.к. $DK \perp AB$). Угол $\angle DBK$ равен половине угла при вершине, то есть $\angle DBK = \frac{\alpha}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BDK$:$ \sin(\angle DBK) = \frac{DK}{BD} $$ \sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{H \cot(\beta)}{BD} $Отсюда находим высоту основания $BD$:$ BD = \frac{H \cot(\beta)}{\sin(\frac{\alpha}{2})} $

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BDA$.$ \tan(\angle ABD) = \frac{AD}{BD} $$ \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{AD}{BD} $Отсюда $AD = BD \tan(\frac{\alpha}{2})$. Подставим найденное значение $BD$:$ AD = \frac{H \cot(\beta)}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{H \cot(\beta)}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{H \cot(\beta)}{\cos(\frac{\alpha}{2})} $Основание $AC = 2 AD = \frac{2H \cot(\beta)}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.

Теперь можем вычислить площадь основания $\triangle ABC$:$ S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot \frac{2H \cot(\beta)}{\cos(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{H \cot(\beta)}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{H^2 \cot^2(\beta)}{\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} $Используя формулу синуса двойного угла $2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$, получаем:$ \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sin(\alpha)}{2} $$ S_{ABC} = \frac{H^2 \cot^2(\beta)}{\frac{\sin(\alpha)}{2}} = \frac{2H^2 \cot^2(\beta)}{\sin(\alpha)} $

Наконец, найдём объём пирамиды по формуле $V = \frac{1}{3} S_{base} \cdot H_{pyr}$:$ V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{2H^2 \cot^2(\beta)}{\sin(\alpha)} \cdot H = \frac{2H^3 \cot^2(\beta)}{3\sin(\alpha)} $

Ответ: $ \frac{2H^3 \cot^2(\beta)}{3\sin(\alpha)} $

275. Стороны оснований правильной усечённой четырёх-угольной пирамиды равны 4 см и 6 см, а высота – 3 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

275. Стороны оснований правильной усеченной четырёхугольной пирамиды равны 4 см и 6 см, а высота – 3 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ — высота усечённой пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

В условии сказано, что пирамида правильная четырёхугольная, следовательно, её основания — квадраты.

Стороны оснований равны $a_1 = 4$ см и $a_2 = 6$ см. Найдём их площади:

Площадь меньшего основания: $S_1 = a_1^2 = 4^2 = 16$ см².

Площадь большего основания: $S_2 = a_2^2 = 6^2 = 36$ см².

Высота пирамиды по условию равна $h = 3$ см.

Подставим известные значения в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (16 + 36 + \sqrt{16 \cdot 36})$

Упростим выражение:

$V = 1 \cdot (52 + \sqrt{576})$

Вычислим корень:

$\sqrt{576} = 24$

Теперь найдём объём:

$V = 52 + 24 = 76$

Объём усечённой пирамиды равен 76 см³.

Ответ: 76 см³.

276. Стороны оснований правильной усечённой треугольной пирамиды равны 3 см и 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью большего основания угол 60°. Найдите объём усечённой пирамиды.

276. Стороны оснований правильной усечённой треугольной пирамиды равны 3 см и 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью большего основания угол $60^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $S_1$ и $S_2$ – площади оснований, а $h$ – высота пирамиды.

1. Найдём площади оснований.

Основаниями правильной треугольной усечённой пирамиды являются правильные (равносторонние) треугольники. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь большего основания ($S_1$) со стороной $a_1 = 6$ см:

$S_1 = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Площадь меньшего основания ($S_2$) со стороной $a_2 = 3$ см:

$S_2 = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$ см².

2. Найдём высоту усечённой пирамиды.

Рассмотрим осевое сечение усечённой пирамиды, проходящее через боковое ребро и высоту. Это сечение представляет собой трапецию. Чтобы найти высоту, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза), высотой усечённой пирамиды $h$ (катет) и проекцией бокового ребра на плоскость большего основания (второй катет).

Угол между боковым ребром и плоскостью большего основания равен $60°$. Длина проекции бокового ребра на плоскость большего основания равна разности радиусов окружностей, описанных около оснований: $R_1 - R_2$.

Радиус описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$ находится по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Радиус для большего основания:

$R_1 = \frac{a_1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Радиус для меньшего основания:

$R_2 = \frac{a_2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Тогда длина проекции бокового ребра равна:

$R_1 - R_2 = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника найдём высоту $h$:

$h = (R_1 - R_2) \cdot \tan(60°) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ см.

3. Вычислим объём усечённой пирамиды.

Подставим найденные значения $S_1$, $S_2$ и $h$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot 3 \left( 9\sqrt{3} + \frac{9\sqrt{3}}{4} + \sqrt{9\sqrt{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4}} \right)$

$V = 9\sqrt{3} + \frac{9\sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{81 \cdot 3}{4}}$

$V = 9\sqrt{3} + \frac{9\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{81}\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

$V = 9\sqrt{3} + \frac{9\sqrt{3}}{4} + \frac{9\sqrt{3}}{2}$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$V = \frac{36\sqrt{3}}{4} + \frac{9\sqrt{3}}{4} + \frac{18\sqrt{3}}{4} = \frac{(36+9+18)\sqrt{3}}{4} = \frac{63\sqrt{3}}{4}$ см³.

Ответ: $\frac{63\sqrt{3}}{4}$ см³.

277. Стороны оснований правильной усечённой четырёх-угольной пирамиды равны 8 см и 12 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $60^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды равен $370 \text{ см}^3$ её высо-

277. Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 8 см и 12 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $60^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$, где $S_1$ и $S_2$ — площади оснований, а $h$ — высота пирамиды.

1. Найдем площади оснований.

Основания правильной усечённой четырёхугольной пирамиды — это квадраты.
Площадь большего основания (квадрата со стороной $a_1 = 12$ см):
$S_1 = a_1^2 = 12^2 = 144$ см².
Площадь меньшего основания (квадрата со стороной $a_2 = 8$ см):
$S_2 = a_2^2 = 8^2 = 64$ см².

2. Найдем высоту усечённой пирамиды.

Для нахождения высоты $h$ рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через апофемы (высоты боковых граней). Это сечение является равнобокой трапецией.
Основаниями этой трапеции являются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон оснований пирамиды, их длины равны сторонам оснований: 12 см и 8 см.
Двугранный угол при ребре большего основания — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. В нашем сечении это угол при большем основании трапеции, который по условию равен $60^\circ$.
Проведём высоту из вершины меньшего основания трапеции на большее. Получим прямоугольный треугольник, в котором:
- один из острых углов равен $60^\circ$;
- один катет является высотой пирамиды $h$;
- другой катет равен полуразности оснований трапеции: $\frac{12 - 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.
Из этого прямоугольного треугольника найдём высоту $h$ через тангенс угла:
$h = 2 \cdot \tan(60^\circ) = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Вычислим объём усечённой пирамиды.

Подставим найденные значения $S_1$, $S_2$ и $h$ в формулу объёма:
$V = \frac{1}{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot (144 + \sqrt{144 \cdot 64} + 64)$
$V = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot (144 + \sqrt{9216} + 64)$
$V = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot (144 + 96 + 64)$
$V = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot 304$
$V = \frac{608\sqrt{3}}{3}$ см³.

Ответ: $V = \frac{608\sqrt{3}}{3}$ см³.