Страница 106 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

278. Объём усечённой пирамиды равен 370 $см^3$, её высота — 6 см, а площади оснований относятся как $9:16$. Найдите площадь меньшего основания.

278. Объём усеченной пирамиды равен 370 $cm^3$, её высота — 6 см, а площади оснований относятся как 9 : 16. Найдите площадь меньшего основания.

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $V$ - объем, $h$ - высота, а $S_1$ и $S_2$ - площади оснований.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

Объем $V = 370$ см³.

Высота $h = 6$ см.

Отношение площадей оснований $\frac{S_1}{S_2} = \frac{9}{16}$, где $S_1$ - площадь меньшего основания, а $S_2$ - площадь большего.

Для решения задачи введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда площади оснований можно выразить следующим образом:

$S_1 = 9x$

$S_2 = 16x$

Теперь подставим все известные значения и выражения в формулу объема усеченной пирамиды:

$370 = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot (9x + 16x + \sqrt{9x \cdot 16x})$

Выполним вычисления поэтапно. Сначала упростим множитель перед скобками:

$\frac{1}{3} \cdot 6 = 2$

Теперь упростим выражение в скобках:

$9x + 16x + \sqrt{144x^2} = 25x + 12x = 37x$

Подставим упрощенные части обратно в уравнение:

$370 = 2 \cdot (37x)$

$370 = 74x$

Найдем значение коэффициента $x$:

$x = \frac{370}{74} = 5$

Целью задачи является нахождение площади меньшего основания, которую мы обозначили как $S_1$.

$S_1 = 9x = 9 \cdot 5 = 45$

Таким образом, площадь меньшего основания равна 45 см².

Ответ: 45 см².

279. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 15 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, стороны оснований которой равны 20 см и 8 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

279. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 15 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, стороны оснований которой равны 20 см и 8 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

Для нахождения объёма усечённой пирамиды воспользуемся формулой:
$V = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$
где $h$ — высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

Поскольку пирамида правильная четырёхугольная, её основаниями являются квадраты.Стороны оснований усечённой пирамиды даны: $a_1 = 20$ см и $a_2 = 8$ см.Найдём площади оснований:

Площадь большего основания: $S_1 = a_1^2 = 20^2 = 400$ см².
Площадь меньшего основания: $S_2 = a_2^2 = 8^2 = 64$ см².

Теперь найдём высоту усечённой пирамиды $h$.
Плоскость, отсекающая усечённую пирамиду, параллельна основанию. Это означает, что малая пирамида (отсечённая верхняя часть) подобна исходной большой пирамиде.Пусть $H$ — высота исходной пирамиды, а $h_2$ — высота малой (отсечённой) пирамиды. Из условия $H = 15$ см.Коэффициент подобия пирамид равен отношению сторон их оснований:$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

Отношение высот подобных пирамид также равно коэффициенту подобия:$\frac{h_2}{H} = k$
$\frac{h_2}{15} = \frac{2}{5}$
Отсюда находим высоту малой пирамиды:
$h_2 = 15 \cdot \frac{2}{5} = 6$ см.

Высота усечённой пирамиды $h$ равна разности высот исходной и малой пирамид:$h = H - h_2 = 15 - 6 = 9$ см.

Теперь у нас есть все необходимые данные для расчёта объёма усечённой пирамиды. Подставим значения в формулу:$V = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot (400 + \sqrt{400 \cdot 64} + 64)$
$V = 3 \cdot (400 + \sqrt{25600} + 64)$
$V = 3 \cdot (400 + 160 + 64)$
$V = 3 \cdot 624$
$V = 1872$ см³.

Ответ: 1872 см³.

280. Основания усечённой пирамиды — равнобедренные треугольники, боковые стороны которых равны 9 см и 15 см соответственно, а угол между боковыми сторонами — $120^\circ$. Каждое боковое ребро усечённой пирамиды образует с плоскостью большего основания угол $30^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

280. Основания усечённой пирамиды — равнобедренные треугольники, боковые стороны которых равны 9 см и 15 см соответственно, а угол между боковыми сторонами — $120^\circ$. Каждое боковое ребро усечённой пирамиды образует с плоскостью большего основания угол $30^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Для нахождения объёма усечённой пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $H$ — высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

1. Нахождение площадей оснований

Основаниями являются равнобедренные треугольники с углом $120^\circ$ между боковыми сторонами. Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$.

Для большего основания (нижнего) боковые стороны равны 15 см:

$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 15 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{225}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{225\sqrt{3}}{4}$ см².

Для меньшего основания (верхнего) боковые стороны равны 9 см:

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{81}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{81\sqrt{3}}{4}$ см².

Ответ: Площади оснований равны $\frac{225\sqrt{3}}{4}$ см² и $\frac{81\sqrt{3}}{4}$ см².

2. Нахождение высоты усечённой пирамиды

Так как каждое боковое ребро образует с плоскостью большего основания один и тот же угол $30^\circ$, то полная пирамида, из которой получена усечённая, является правильной. Это означает, что её высота проецируется в центр окружности, описанной около основания. Высота усечённой пирамиды $H$ связана с радиусами описанных окружностей оснований $R_1$ и $R_2$ и углом наклона бокового ребра $\alpha = 30^\circ$ соотношением:

$H = (R_1 - R_2) \tan(\alpha)$

Найдём радиусы описанных окружностей. Для этого сначала по теореме косинусов найдём третью сторону каждого треугольника-основания ($c$), а затем используем следствие из теоремы синусов $R = \frac{c}{2\sin\gamma}$.

Для большего основания (со сторонами 15, 15 и углом $120^\circ$):

$c_1^2 = 15^2 + 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(120^\circ) = 2 \cdot 225 - 2 \cdot 225 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 \cdot 225 + 225 = 3 \cdot 225$

$c_1 = \sqrt{3 \cdot 225} = 15\sqrt{3}$ см.

$R_1 = \frac{c_1}{2\sin(120^\circ)} = \frac{15\sqrt{3}}{2 \cdot (\sqrt{3}/2)} = \frac{15\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 15$ см.

Для меньшего основания (со сторонами 9, 9 и углом $120^\circ$):

$c_2^2 = 9^2 + 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot \cos(120^\circ) = 2 \cdot 81 - 2 \cdot 81 \cdot (-\frac{1}{2}) = 3 \cdot 81$

$c_2 = \sqrt{3 \cdot 81} = 9\sqrt{3}$ см.

$R_2 = \frac{c_2}{2\sin(120^\circ)} = \frac{9\sqrt{3}}{2 \cdot (\sqrt{3}/2)} = \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 9$ см.

Теперь найдём высоту $H$:

$H = (R_1 - R_2) \tan(30^\circ) = (15 - 9) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: Высота усечённой пирамиды равна $2\sqrt{3}$ см.

3. Вычисление объёма усечённой пирамиды

Подставим найденные значения $S_1$, $S_2$ и $H$ в формулу объёма.

$V = \frac{1}{3} \cdot 2\sqrt{3} \left( \frac{225\sqrt{3}}{4} + \frac{81\sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{225\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{81\sqrt{3}}{4}} \right)$

Вычислим выражение под корнем:

$\sqrt{\frac{225\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{81\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{225 \cdot 81 \cdot 3}{16}} = \frac{\sqrt{225} \cdot \sqrt{81} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{16}} = \frac{15 \cdot 9 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{135\sqrt{3}}{4}$

Подставим обратно в формулу объёма:

$V = \frac{2\sqrt{3}}{3} \left( \frac{225\sqrt{3}}{4} + \frac{81\sqrt{3}}{4} + \frac{135\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \left( \frac{(225+81+135)\sqrt{3}}{4} \right)$

$V = \frac{2\sqrt{3}}{3} \left( \frac{441\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{2 \cdot 441 \cdot (\sqrt{3})^2}{3 \cdot 4} = \frac{2 \cdot 441 \cdot 3}{12} = \frac{6 \cdot 441}{12} = \frac{441}{2} = 220.5$ см³.

Ответ: 220,5 см³.

281. Радиус основания цилиндра равен 5 см, а высота — 8 см. Найдите объём цилиндра.

281. Радиус основания цилиндра равен 5 см, а высота – 8 см. Найдите объём цилиндра.

Объём цилиндра ($V$) вычисляется по формуле, где площадь основания ($S_{осн}$) умножается на высоту ($h$).

Формула объёма цилиндра: $V = S_{осн} \cdot h$.

Так как основание цилиндра — это круг, его площадь находится по формуле: $S_{осн} = \pi r^2$, где $r$ — это радиус основания.

Совместив обе формулы, получаем конечную формулу для объёма цилиндра: $V = \pi r^2 h$.

В условии задачи даны следующие параметры:

• Радиус основания ($r$) = 5 см
• Высота ($h$) = 8 см

Подставим эти значения в формулу:
$V = \pi \cdot (5 \text{ см})^2 \cdot 8 \text{ см}$
$V = \pi \cdot 25 \text{ см}^2 \cdot 8 \text{ см}$
$V = 200\pi \text{ см}^3$

Ответ: $200\pi \text{ см}^3$.

282. Радиус основания цилиндра равен 2 см, а угол между диагональю осевого сечения и высотой цилиндра равен $45^\circ$. Найдите объём цилиндра.

282. Радиус основания цилиндра равен 2 см, а угол между диагональю осевого сечения и высотой цилиндра равен $45^\circ$. Найдите объём цилиндра.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра.

Из условия задачи нам известно, что радиус основания $R = 2$ см.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, сторонами которого являются высота цилиндра $H$ и диаметр его основания $D$. Диаметр основания в два раза больше радиуса:
$D = 2R = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Высота $H$, диаметр $D$ и диагональ осевого сечения образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике угол между диагональю (гипотенузой) и высотой $H$ (катетом) составляет $45^\circ$. Второй катет — это диаметр $D$.

Отношение катетов в прямоугольном треугольнике можно выразить через тангенс угла:
$\tan(45^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{D}{H}$

Поскольку значение тангенса $45^\circ$ равно 1, получаем:
$1 = \frac{D}{H}$, что означает $H = D$.

Так как $D = 4$ см, то высота цилиндра $H = 4$ см.

Теперь мы можем вычислить объем цилиндра, подставив известные значения $R$ и $H$ в формулу:
$V = \pi R^2 H = \pi \cdot (2)^2 \cdot 4 = \pi \cdot 4 \cdot 4 = 16\pi$ см$^3$.

Ответ: $16\pi$ см$^3$.

283. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 72 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше диаметра первого?

283. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достига- ет 72 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндриче- ский сосуд, диаметр которого в 3 раза больше диаме- тра первого?

Объем жидкости в цилиндрическом сосуде вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота уровня жидкости. Площадь круга, который является основанием цилиндра, можно выразить через его диаметр $d$ по формуле $S_{осн} = \pi r^2 = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Пусть $d_1$ и $h_1$ — диаметр и высота жидкости в первом сосуде, а $d_2$ и $h_2$ — во втором.

По условию, $h_1 = 72$ см, а диаметр второго сосуда в 3 раза больше диаметра первого: $d_2 = 3d_1$.

При переливании жидкости из одного сосуда в другой ее объем не меняется. Обозначим этот объем как $V$.
$V = S_1 \cdot h_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1$
$V = S_2 \cdot h_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2$

Приравняем выражения для объема:
$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2$

Подставим в уравнение соотношение $d_2 = 3d_1$:
$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \frac{\pi (3d_1)^2}{4} \cdot h_2$
$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \frac{\pi \cdot 9d_1^2}{4} \cdot h_2$

Сократим обе части уравнения на $\frac{\pi d_1^2}{4}$:
$h_1 = 9h_2$

Теперь найдем высоту жидкости во втором сосуде $h_2$, зная, что $h_1 = 72$ см:
$72 = 9h_2$
$h_2 = \frac{72}{9}$
$h_2 = 8$ см.

Ответ: 8 см.

284. Радиус основания первого цилиндра в 6 раз меньше радиуса основания второго, а высота первого цилиндра в 4 раза больше высоты второго. Найдите отношение объёмов цилиндров.

284. Радиус основания первого цилиндра в 6 раз меньше радиуса основания второго, а высота первого цилиндра в 4 раза больше высоты второго. Найдите отношение объёмов цилиндров.

Обозначим радиус основания и высоту первого цилиндра как $r_1$ и $h_1$ соответственно, а радиус и высоту второго цилиндра — как $r_2$ и $h_2$.

Согласно условию задачи, радиус основания первого цилиндра в 6 раз меньше радиуса основания второго. Это можно записать в виде формулы:
$r_1 = \frac{r_2}{6}$

Также по условию, высота первого цилиндра в 4 раза больше высоты второго. Запишем это в виде формулы:
$h_1 = 4h_2$

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота.
Объём первого цилиндра: $V_1 = \pi r_1^2 h_1$.
Объём второго цилиндра: $V_2 = \pi r_2^2 h_2$.

Нам нужно найти отношение объёмов цилиндров. Будем искать отношение объёма первого цилиндра к объёму второго, то есть $\frac{V_1}{V_2}$.
Подставим выражения для объёмов в формулу отношения:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2}$

Сократим $\pi$ и подставим выражения для $r_1$ и $h_1$ через $r_2$ и $h_2$:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{(\frac{r_2}{6})^2 \cdot (4h_2)}{r_2^2 \cdot h_2} = \frac{\frac{r_2^2}{36} \cdot 4h_2}{r_2^2 h_2}$

Теперь можно сократить $r_2^2$ и $h_2$ в числителе и знаменателе:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{4}{36}$

Упростим полученную дробь:
$\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$
Таким образом, отношение объёма первого цилиндра к объёму второго равно $\frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$

285. Радиус основания цилиндра равен $R$, а площадь его осевого сечения равна $S$. Найдите объём цилиндра.

285. Радиус основания цилиндра равен $R$, а площадь его осевого сечения равна $S$. Найдите объём цилиндра.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, $H$ — его высота, $S$ — площадь осевого сечения, а $V$ — объём цилиндра.

Осевое сечение цилиндра является прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая — диаметру его основания $D$.

Диаметр основания равен двум радиусам: $D = 2R$.

Площадь осевого сечения $S$ равна произведению его сторон: $S = D \cdot H = 2R \cdot H$

Из этого соотношения можно выразить высоту цилиндра $H$: $H = \frac{S}{2R}$

Объём цилиндра вычисляется по формуле произведения площади основания на высоту: $V = S_{осн} \cdot H$

Площадь основания цилиндра (круга) равна $S_{осн} = \pi R^2$.

Подставим выражения для площади основания и высоты в формулу объёма: $V = (\pi R^2) \cdot \left(\frac{S}{2R}\right)$

Упростим полученное выражение, сократив на $R$: $V = \frac{\pi R^2 S}{2R} = \frac{\pi R S}{2}$

Ответ: $V = \frac{\pi R S}{2}$

286. Прямоугольник, одна сторона которого равна 4 см, а диагональ — $\sqrt{41}$ см, вращается вокруг большей стороны. Найдите объём тела вращения.

286. Прямоугольник, одна сторона которого равна 4 см, а диагональ — $ \sqrt{41} $ см, вращается вокруг большей стороны. Найдите объём тела вращения.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а диагональ равна $d$. По условию, одна сторона равна 4 см, а диагональ – $\sqrt{41}$ см. Пусть $a = 4$ см, $d = \sqrt{41}$ см.

Стороны и диагональ прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем вторую сторону $b$:
$a^2 + b^2 = d^2$
$4^2 + b^2 = (\sqrt{41})^2$
$16 + b^2 = 41$
$b^2 = 41 - 16$
$b^2 = 25$
$b = 5$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 4 см и 5 см. Большая сторона равна 5 см.

При вращении прямоугольника вокруг его стороны образуется цилиндр. В данном случае вращение происходит вокруг большей стороны. Это означает, что высота цилиндра $h$ будет равна большей стороне прямоугольника, а радиус его основания $r$ – меньшей стороне.

Высота цилиндра: $h = 5$ см.
Радиус основания цилиндра: $r = 4$ см.

Объём цилиндра вычисляется по формуле:
$V = \pi r^2 h$
Подставим наши значения:
$V = \pi \cdot 4^2 \cdot 5 = \pi \cdot 16 \cdot 5 = 80\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $80\pi \text{ см}^3$.