Номер 280, страница 106 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

280. Основания усечённой пирамиды — равнобедренные треугольники, боковые стороны которых равны 9 см и 15 см соответственно, а угол между боковыми сторонами — $120^\circ$. Каждое боковое ребро усечённой пирамиды образует с плоскостью большего основания угол $30^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

280. Основания усечённой пирамиды — равнобедренные треугольники, боковые стороны которых равны 9 см и 15 см соответственно, а угол между боковыми сторонами — $120^\circ$. Каждое боковое ребро усечённой пирамиды образует с плоскостью большего основания угол $30^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Для нахождения объёма усечённой пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $H$ — высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

1. Нахождение площадей оснований

Основаниями являются равнобедренные треугольники с углом $120^\circ$ между боковыми сторонами. Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$.

Для большего основания (нижнего) боковые стороны равны 15 см:

$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 15 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{225}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{225\sqrt{3}}{4}$ см².

Для меньшего основания (верхнего) боковые стороны равны 9 см:

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{81}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{81\sqrt{3}}{4}$ см².

Ответ: Площади оснований равны $\frac{225\sqrt{3}}{4}$ см² и $\frac{81\sqrt{3}}{4}$ см².

2. Нахождение высоты усечённой пирамиды

Так как каждое боковое ребро образует с плоскостью большего основания один и тот же угол $30^\circ$, то полная пирамида, из которой получена усечённая, является правильной. Это означает, что её высота проецируется в центр окружности, описанной около основания. Высота усечённой пирамиды $H$ связана с радиусами описанных окружностей оснований $R_1$ и $R_2$ и углом наклона бокового ребра $\alpha = 30^\circ$ соотношением:

$H = (R_1 - R_2) \tan(\alpha)$

Найдём радиусы описанных окружностей. Для этого сначала по теореме косинусов найдём третью сторону каждого треугольника-основания ($c$), а затем используем следствие из теоремы синусов $R = \frac{c}{2\sin\gamma}$.

Для большего основания (со сторонами 15, 15 и углом $120^\circ$):

$c_1^2 = 15^2 + 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(120^\circ) = 2 \cdot 225 - 2 \cdot 225 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 \cdot 225 + 225 = 3 \cdot 225$

$c_1 = \sqrt{3 \cdot 225} = 15\sqrt{3}$ см.

$R_1 = \frac{c_1}{2\sin(120^\circ)} = \frac{15\sqrt{3}}{2 \cdot (\sqrt{3}/2)} = \frac{15\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 15$ см.

Для меньшего основания (со сторонами 9, 9 и углом $120^\circ$):

$c_2^2 = 9^2 + 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot \cos(120^\circ) = 2 \cdot 81 - 2 \cdot 81 \cdot (-\frac{1}{2}) = 3 \cdot 81$

$c_2 = \sqrt{3 \cdot 81} = 9\sqrt{3}$ см.

$R_2 = \frac{c_2}{2\sin(120^\circ)} = \frac{9\sqrt{3}}{2 \cdot (\sqrt{3}/2)} = \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 9$ см.

Теперь найдём высоту $H$:

$H = (R_1 - R_2) \tan(30^\circ) = (15 - 9) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: Высота усечённой пирамиды равна $2\sqrt{3}$ см.

3. Вычисление объёма усечённой пирамиды

Подставим найденные значения $S_1$, $S_2$ и $H$ в формулу объёма.

$V = \frac{1}{3} \cdot 2\sqrt{3} \left( \frac{225\sqrt{3}}{4} + \frac{81\sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{225\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{81\sqrt{3}}{4}} \right)$

Вычислим выражение под корнем:

$\sqrt{\frac{225\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{81\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{225 \cdot 81 \cdot 3}{16}} = \frac{\sqrt{225} \cdot \sqrt{81} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{16}} = \frac{15 \cdot 9 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{135\sqrt{3}}{4}$

Подставим обратно в формулу объёма:

$V = \frac{2\sqrt{3}}{3} \left( \frac{225\sqrt{3}}{4} + \frac{81\sqrt{3}}{4} + \frac{135\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \left( \frac{(225+81+135)\sqrt{3}}{4} \right)$

$V = \frac{2\sqrt{3}}{3} \left( \frac{441\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{2 \cdot 441 \cdot (\sqrt{3})^2}{3 \cdot 4} = \frac{2 \cdot 441 \cdot 3}{12} = \frac{6 \cdot 441}{12} = \frac{441}{2} = 220.5$ см³.

Ответ: 220,5 см³.