Номер 279, страница 106 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

279. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 15 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, стороны оснований которой равны 20 см и 8 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

279. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 15 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, стороны оснований которой равны 20 см и 8 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

Для нахождения объёма усечённой пирамиды воспользуемся формулой:
$V = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$
где $h$ — высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

Поскольку пирамида правильная четырёхугольная, её основаниями являются квадраты.Стороны оснований усечённой пирамиды даны: $a_1 = 20$ см и $a_2 = 8$ см.Найдём площади оснований:

Площадь большего основания: $S_1 = a_1^2 = 20^2 = 400$ см².
Площадь меньшего основания: $S_2 = a_2^2 = 8^2 = 64$ см².

Теперь найдём высоту усечённой пирамиды $h$.
Плоскость, отсекающая усечённую пирамиду, параллельна основанию. Это означает, что малая пирамида (отсечённая верхняя часть) подобна исходной большой пирамиде.Пусть $H$ — высота исходной пирамиды, а $h_2$ — высота малой (отсечённой) пирамиды. Из условия $H = 15$ см.Коэффициент подобия пирамид равен отношению сторон их оснований:$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

Отношение высот подобных пирамид также равно коэффициенту подобия:$\frac{h_2}{H} = k$
$\frac{h_2}{15} = \frac{2}{5}$
Отсюда находим высоту малой пирамиды:
$h_2 = 15 \cdot \frac{2}{5} = 6$ см.

Высота усечённой пирамиды $h$ равна разности высот исходной и малой пирамид:$h = H - h_2 = 15 - 6 = 9$ см.

Теперь у нас есть все необходимые данные для расчёта объёма усечённой пирамиды. Подставим значения в формулу:$V = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot (400 + \sqrt{400 \cdot 64} + 64)$
$V = 3 \cdot (400 + \sqrt{25600} + 64)$
$V = 3 \cdot (400 + 160 + 64)$
$V = 3 \cdot 624$
$V = 1872$ см³.

Ответ: 1872 см³.