Страница 101 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

234. Площадь поверхности куба равна 150 $ \text{см}^2 $. Найдите его объём.

234. Площадь поверхности куба равна 150 $cm^2$. Найдите его объём.

Площадь полной поверхности куба ($S$) состоит из суммы площадей шести его граней, которые являются одинаковыми квадратами. Если обозначить длину ребра куба как $a$, то площадь одной грани равна $a^2$.

Формула площади полной поверхности куба: $S = 6a^2$.

По условию задачи, $S = 150$ см². Подставим это значение в формулу, чтобы найти длину ребра $a$:

$150 = 6a^2$

Выразим $a^2$:

$a^2 = \frac{150}{6}$

$a^2 = 25$

Теперь найдем длину ребра $a$:

$a = \sqrt{25} = 5$ см

Объём куба ($V$) вычисляется по формуле $V = a^3$. Подставим найденное значение $a$:

$V = 5^3 = 125$ см³

Ответ: 125 см³.

235. Основанием прямой призмы является ромб с диагоналями 12 см и 16 см. Диагональ боковой грани призмы образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём призмы.

235. Основанием прямой призмы является ромб с диагоналями 12 см и 16 см. Диагональ боковой грани призмы образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём призмы.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания.
Основанием призмы является ромб с диагоналями $d_1 = 12$ см и $d_2 = 16$ см. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:
$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 6 \cdot 16 = 96$ см².

2. Найдем высоту призмы.
Призма прямая, следовательно, ее боковые ребра перпендикулярны основанию, а высота $H$ равна длине бокового ребра.Диагональ боковой грани, боковое ребро (высота $H$) и сторона основания (сторона ромба $a$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике сторона ромба $a$ является проекцией диагонали боковой грани на плоскость основания. Угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания — это угол между этой диагональю и ее проекцией, то есть стороной ромба $a$. По условию, этот угол равен 45°.

Так как в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 45°, то этот треугольник равнобедренный. Его катеты (высота призмы $H$ и сторона ромба $a$) равны: $H = a$.

Найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты такого треугольника равны половинам диагоналей, а гипотенуза — стороне ромба $a$.
Катеты равны $\frac{12}{2} = 6$ см и $\frac{16}{2} = 8$ см.
По теореме Пифагора:
$a^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$a = \sqrt{100} = 10$ см.

Поскольку $H = a$, то высота призмы $H = 10$ см.

3. Найдем объем призмы.
Теперь можем вычислить объем призмы:
$V = S_{осн} \cdot H = 96 \cdot 10 = 960$ см³.

Ответ: 960 см³.

236. Боковая грань правильной шестиугольной призмы является квадратом, диагональ которого равна $6\sqrt{2}$ см. Найдите объём призмы.

236. Боковая грань правильной шестиугольной призмы является квадратом, диагональ которого равна $6\sqrt{2}$ см. Найдите объём призмы.

Объём призмы находится по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

1. Нахождение стороны основания и высоты призмы

Согласно условию, боковая грань правильной шестиугольной призмы представляет собой квадрат. Диагональ этого квадрата $d$ равна $6\sqrt{2}$ см.Пусть сторона квадрата равна $a$. Связь между диагональю и стороной квадрата выражается формулой $d = a\sqrt{2}$.

Подставим в формулу данное значение диагонали:$a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Из этого уравнения находим сторону квадрата:$a = 6$ см.

Так как боковая грань является квадратом, её стороны равны. Одна сторона этого квадрата является стороной основания призмы, а другая — её высотой. Следовательно, сторона основания (правильного шестиугольника) равна $a = 6$ см, и высота призмы $h$ также равна $6$ см.

2. Вычисление площади основания призмы

Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной $a = 6$ см. Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле:$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Подставим значение стороны $a = 6$ см в формулу:$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 36 = 3\sqrt{3} \cdot 18 = 54\sqrt{3}$ см².

3. Вычисление объёма призмы

Теперь, имея площадь основания $S_{осн} = 54\sqrt{3}$ см² и высоту $h = 6$ см, мы можем рассчитать объём призмы:$V = S_{осн} \cdot h = 54\sqrt{3} \cdot 6 = 324\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $324\sqrt{3}$ см³.

237. Меньшая сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна 6 см, а угол между диагоналями основания равен $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда, если его диагональ образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

237. Меньшая сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна 6 см, а угол между диагоналями основания равен $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда, если его диагональ образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

Для решения задачи выполним следующие шаги: найдем размеры основания параллелепипеда, затем его высоту и, наконец, вычислим объем.

1. Найдем стороны и диагональ основания.

Основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник. Пусть его стороны равны $a$ и $b$. По условию, меньшая сторона $a = 6$ см. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Угол между диагоналями равен $60°$.

Рассмотрим треугольник, образованный меньшей стороной $a$ и двумя половинами диагоналей. Этот треугольник является равнобедренным, так как две его стороны — это половины диагоналей. Угол при вершине, образованной пересечением диагоналей, равен $60°$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, и каждый из них составляет $(180° - 60°) / 2 = 60°$.

Следовательно, этот треугольник является равносторонним. Это означает, что половина диагонали основания равна меньшей стороне основания:

$\frac{d_{осн}}{2} = a = 6$ см

Отсюда находим длину диагонали основания $d_{осн}$:

$d_{осн} = 2 \cdot 6 = 12$ см

Теперь найдем вторую сторону основания $b$, используя теорему Пифагора для прямоугольника, где квадрат диагонали равен сумме квадратов его сторон: $d_{осн}^2 = a^2 + b^2$.

$b^2 = d_{осн}^2 - a^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108$

$b = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см

Так как $6\sqrt{3} > 6$, сторона $a=6$ см действительно является меньшей.

Площадь основания $S_{осн}$ равна:

$S_{осн} = a \cdot b = 6 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Найдем высоту параллелепипеда.

Диагональ параллелепипеда $D$, его высота $h$ и диагональ основания $d_{осн}$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания — это угол между $D$ и $d_{осн}$, который по условию равен $30°$.

В этом прямоугольном треугольнике высота $h$ является катетом, противолежащим углу $30°$, а $d_{осн}$ — прилежащим катетом. Их соотношение определяется через тангенс угла:

$\tan(30°) = \frac{h}{d_{осн}}$

Выразим отсюда высоту $h$:

$h = d_{осн} \cdot \tan(30°) = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см

3. Найдем объем параллелепипеда.

Объем $V$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$.

Подставим найденные значения площади основания и высоты:

$V = 36\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = (36 \cdot 4) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 144 \cdot 3 = 432$ см$^3$.

Ответ: $432$ см$^3$.

238. Основание прямой призмы — ромб со стороной 6 см и углом $60^\circ$. Диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём призмы.

238. Основание прямой призмы — ромб со стороной 6 см и углом $60^\circ$. Диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

1. Найдём площадь основания.

Основание призмы — ромб со стороной $a = 6$ см и острым углом $\alpha = 60°$. Площадь ромба можно найти по формуле: $S_{осн} = a^2 \cdot \sin(\alpha)$.

Подставим известные значения: $S_{осн} = 6^2 \cdot \sin(60°) = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ см².

2. Найдём высоту призмы.

Призма прямая, следовательно, её боковые грани — прямоугольники, а высота призмы $h$ равна длине бокового ребра.

Рассмотрим одну из боковых граней. Диагональ этой грани, её проекция на плоскость основания (которая совпадает со стороной ромба $a$) и боковое ребро (высота $h$) образуют прямоугольный треугольник.

Угол между диагональю боковой грани (гипотенузой) и плоскостью основания (катетом $a$) по условию равен $45°$. В этом прямоугольном треугольнике отношение противолежащего катета ($h$) к прилежащему ($a$) равно тангенсу угла: $\tan(45°) = \frac{h}{a}$.

Поскольку $\tan(45°) = 1$, получаем: $1 = \frac{h}{6}$ $h = 6$ см.

3. Найдём объём призмы.

Теперь, зная площадь основания и высоту, вычислим объём: $V = S_{осн} \cdot h = 18\sqrt{3} \cdot 6 = 108\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $108\sqrt{3}$ см³.

239. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом $\alpha$. Большая диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём призмы, если меньшая диагональ её основания равна $d$.

239. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом $\alpha$. Большая диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём призмы, если меньшая диагональ её основания равна $d$.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдём площадь основания.
Основанием является ромб с острым углом $\alpha$ и меньшей диагональю $d$. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Обозначим большую диагональ ромба как $D_{осн}$.
Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей ($d/2$ и $D_{осн}/2$) и стороной ромба. Угол, противолежащий катету $d/2$, равен $\alpha/2$.
Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{d/2}{D_{осн}/2} = \frac{d}{D_{осн}}$.
Отсюда выразим большую диагональ основания:$D_{осн} = \frac{d}{\tan(\alpha/2)} = d \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.
Теперь можем вычислить площадь основания:$S_{осн} = \frac{1}{2} d \cdot D_{осн} = \frac{1}{2} d \cdot d \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{2} d^2 \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

2. Найдём высоту призмы.
Призма прямая, поэтому её высота $H$ равна боковому ребру. Большая диагональ призмы, её проекция на плоскость основания (которая является большей диагональю основания $D_{осн}$) и высота призмы $H$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания по условию равен $\beta$. В этом прямоугольном треугольнике катет $H$ противолежит углу $\beta$, а другой катет равен $D_{осн}$.
Следовательно, $\tan(\beta) = \frac{H}{D_{осн}}$.
Отсюда находим высоту призмы:$H = D_{осн} \tan(\beta) = d \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

3. Найдём объём призмы.
Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма:$V = S_{осн} \cdot H = \left( \frac{1}{2} d^2 \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \right) \cdot \left( d \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta) \right)$.
$V = \frac{1}{2} d^3 \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

Ответ: $V = \frac{1}{2} d^3 \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

240. Основание прямой призмы — треугольник со стороной $a$, противолежащим этой стороне углом $\alpha$ и прилежащим углом $\beta$. Диагональ боковой грани, содержащей сторону основания, к которой прилегают углы $\alpha$ и $\beta$, наклонена к плоскости основания под углом $\gamma$. Найдите объём призмы.

240. Основание прямой призмы — треугольник со стороной $a$, противолежащим этой стороне углом $\alpha$ и прилежащим углом $\beta$. Диагональ боковой грани, содержащей сторону основания, к которой прилегают углы $\alpha$ и $\beta$, наклонена к плоскости основания под углом $\gamma$. Найдите объём призмы.

Для нахождения объёма прямой призмы воспользуемся формулой $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Анализ основания призмы

В основании призмы лежит треугольник $ABC$. Согласно условию, заданы: сторона $a$, противолежащий ей угол $\alpha$ и еще один угол треугольника $\beta$. Пусть сторона $BC = a$, тогда противолежащий ей угол $\angle A = \alpha$. Пусть $\angle B = \beta$. Тогда третий угол треугольника $\angle C = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Определение высоты призмы

В условии сказано, что диагональ боковой грани, содержащей сторону основания, к которой прилегают углы $\alpha$ и $\beta$, наклонена к плоскости основания под углом $\gamma$. Сторона, к которой прилегают углы $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$ — это сторона $AB$. Обозначим её длину как $c$. Рассмотрим боковую грань $ABB'A'$, построенную на стороне $AB$. Пусть $A'B$ — её диагональ. Поскольку призма прямая, её боковое ребро $AA'$ перпендикулярно основанию. Следовательно, треугольник $A'AB$ — прямоугольный ($\angle A'AB = 90^\circ$). Проекцией диагонали $A'B$ на плоскость основания является сторона $AB$. Угол между диагональю и её проекцией — это и есть угол наклона, то есть $\angle A'BA = \gamma$. Из прямоугольного треугольника $A'AB$ находим высоту призмы $H = AA'$: $H = AB \cdot \tan(\angle A'BA) = c \cdot \tan(\gamma)$.

Нахождение элементов треугольника в основании

Для нахождения высоты $H$ и площади основания $S_{осн}$ нам понадобится длина стороны $c = AB$. Воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$: $\frac{a}{\sin(\angle A)} = \frac{c}{\sin(\angle C)}$ $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))}$ Так как $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, то $\sin(180^\circ - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)$. Отсюда выражаем $c$: $c = \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha)}$

Теперь можем найти высоту призмы $H$: $H = c \cdot \tan(\gamma) = \frac{a \sin(\alpha + \beta) \tan(\gamma)}{\sin(\alpha)}$

Нахождение площади основания

Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле, использующей две стороны и угол между ними. Возьмём стороны $BC=a$, $AB=c$ и угол между ними $\angle B = \beta$: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AB \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{2} a c \sin(\beta)$ Подставим найденное выражение для $c$: $S_{осн} = \frac{1}{2} a \left( \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha)} \right) \sin(\beta) = \frac{a^2 \sin(\beta) \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin(\alpha)}$

Вычисление объёма призмы

Теперь, имея площадь основания и высоту, найдём объём призмы: $V = S_{осн} \cdot H = \left( \frac{a^2 \sin(\beta) \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin(\alpha)} \right) \cdot \left( \frac{a \sin(\alpha + \beta) \tan(\gamma)}{\sin(\alpha)} \right)$ $V = \frac{a^3 \sin(\beta) \sin^2(\alpha + \beta) \tan(\gamma)}{2 \sin^2(\alpha)}$

Ответ: $V = \frac{a^3 \sin(\beta) \sin^2(\alpha + \beta) \tan(\gamma)}{2 \sin^2(\alpha)}$

241. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна $a$, а большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём призмы.

241. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна $a$, а большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём призмы.

Объём призмы вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

1. Найдём площадь основания $S_{осн}$.

Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной $a$. Площадь правильного шестиугольника можно найти, разбив его на 6 одинаковых равносторонних треугольников со стороной $a$.

Площадь одного такого равностороннего треугольника равна $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Следовательно, площадь основания призмы равна:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдём высоту призмы $h$.

По условию, большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Большая диагональ призмы, её проекция на плоскость основания и высота призмы образуют прямоугольный треугольник.

Проекцией большей диагонали призмы на основание является большая диагональ основания. В правильном шестиугольнике со стороной $a$ большая диагональ (соединяющая противоположные вершины) равна $d = 2a$.

В полученном прямоугольном треугольнике:

• катет, прилежащий к углу $\alpha$, — это большая диагональ основания $d = 2a$;
• катет, противолежащий углу $\alpha$, — это высота призмы $h$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{d} = \frac{h}{2a}$.

Отсюда выражаем высоту призмы:

$h = 2a \cdot \tan(\alpha)$.

3. Найдём объём призмы $V$.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot (2a \cdot \tan(\alpha))$.

$V = 3a^3\sqrt{3}\tan(\alpha)$.

Ответ: $V = 3a^3\sqrt{3}\tan(\alpha)$.

242. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и углом $30^\circ$. Объем призмы равен $48\sqrt{3}$ см$^3$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

242. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и углом 30°. Объём призмы равен $48\sqrt{3}$ см³. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Обозначим его катеты как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. По условию, $c=8$ см, а один из острых углов равен $30^\circ$.

1. Найдём катеты основания.
Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Пусть это будет катет $a$:
$a = c \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.
Второй катет $b$ найдем, используя косинус того же угла:
$b = c \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Найдём площадь основания призмы ($S_{осн}$).
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см$^2$.

3. Найдём высоту призмы ($h$).
Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$. Нам известен объём $V = 48\sqrt{3}$ см$^3$. Выразим и найдём высоту:
$h = \frac{V}{S_{осн}} = \frac{48\sqrt{3}}{8\sqrt{3}} = 6$ см.

4. Найдём площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$).
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$).
Сначала вычислим периметр основания:
$P_{осн} = a + b + c = 4 + 4\sqrt{3} + 8 = 12 + 4\sqrt{3}$ см.
Теперь найдём площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (12 + 4\sqrt{3}) \cdot 6 = 72 + 24\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $72 + 24\sqrt{3}$ см$^2$.

243. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Боковая сторона трапеции равна 4 см, а острый угол — $60^\circ$. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём призмы.

243. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Боковая сторона трапеции равна 4 см, а острый угол — $60^{\circ}$. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания.

Основанием является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$, а боковую сторону как $c$. По условию $c = 4$ см, а острый угол при основании $\alpha = 60°$.

Свойство описанного четырехугольника гласит, что суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает: $a + b = c + c = 2c$.

$a + b = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Площадь трапеции находится по формуле $S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции.Найдем высоту $h$. Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковая сторона $c$, а одним из катетов — высота $h$. Угол между боковой стороной и основанием равен $60°$.

$h = c \cdot \sin(\alpha) = 4 \cdot \sin(60°) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь можем найти площадь основания:

$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{8}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см².

2. Найдем высоту призмы $H$.

Диагональ призмы, её проекция на плоскость основания (которая является диагональю основания $d$) и высота призмы $H$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания по условию равен $45°$. В этом прямоугольном треугольнике:

$\tan(45°) = \frac{H}{d}$

Поскольку $\tan(45°) = 1$, то $H = d$. Высота призмы равна диагонали её основания.

Найдем диагональ основания $d$. Рассмотрим трапецию. Проведем в ней высоту из вершины тупого угла. Эта высота отсекает на большем основании отрезок, равный $\frac{a-b}{2}$. Тогда проекция диагонали на большее основание будет равна $a - \frac{a-b}{2} = \frac{2a - a + b}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Проекция диагонали: $\frac{a+b}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь по теореме Пифагора найдем квадрат диагонали трапеции, используя высоту трапеции $h$ и проекцию диагонали:

$d^2 = h^2 + \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = (2\sqrt{3})^2 + 4^2 = 4 \cdot 3 + 16 = 12 + 16 = 28$.

$d = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$ см.

Так как $H = d$, то высота призмы $H = 2\sqrt{7}$ см.

3. Найдем объём призмы.

$V = S_{осн} \cdot H = 8\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{7} = 16\sqrt{21}$ см³.

Ответ: $16\sqrt{21}$ см³.