Номер 241, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

241. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна $a$, а большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём призмы.

241. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна $a$, а большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём призмы.

Объём призмы вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

1. Найдём площадь основания $S_{осн}$.

Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной $a$. Площадь правильного шестиугольника можно найти, разбив его на 6 одинаковых равносторонних треугольников со стороной $a$.

Площадь одного такого равностороннего треугольника равна $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Следовательно, площадь основания призмы равна:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдём высоту призмы $h$.

По условию, большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Большая диагональ призмы, её проекция на плоскость основания и высота призмы образуют прямоугольный треугольник.

Проекцией большей диагонали призмы на основание является большая диагональ основания. В правильном шестиугольнике со стороной $a$ большая диагональ (соединяющая противоположные вершины) равна $d = 2a$.

В полученном прямоугольном треугольнике:

• катет, прилежащий к углу $\alpha$, — это большая диагональ основания $d = 2a$;
• катет, противолежащий углу $\alpha$, — это высота призмы $h$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{d} = \frac{h}{2a}$.

Отсюда выражаем высоту призмы:

$h = 2a \cdot \tan(\alpha)$.

3. Найдём объём призмы $V$.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot (2a \cdot \tan(\alpha))$.

$V = 3a^3\sqrt{3}\tan(\alpha)$.

Ответ: $V = 3a^3\sqrt{3}\tan(\alpha)$.