Номер 240, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

240. Основание прямой призмы — треугольник со стороной $a$, противолежащим этой стороне углом $\alpha$ и прилежащим углом $\beta$. Диагональ боковой грани, содержащей сторону основания, к которой прилегают углы $\alpha$ и $\beta$, наклонена к плоскости основания под углом $\gamma$. Найдите объём призмы.

240. Основание прямой призмы — треугольник со стороной $a$, противолежащим этой стороне углом $\alpha$ и прилежащим углом $\beta$. Диагональ боковой грани, содержащей сторону основания, к которой прилегают углы $\alpha$ и $\beta$, наклонена к плоскости основания под углом $\gamma$. Найдите объём призмы.

Для нахождения объёма прямой призмы воспользуемся формулой $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Анализ основания призмы

В основании призмы лежит треугольник $ABC$. Согласно условию, заданы: сторона $a$, противолежащий ей угол $\alpha$ и еще один угол треугольника $\beta$. Пусть сторона $BC = a$, тогда противолежащий ей угол $\angle A = \alpha$. Пусть $\angle B = \beta$. Тогда третий угол треугольника $\angle C = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Определение высоты призмы

В условии сказано, что диагональ боковой грани, содержащей сторону основания, к которой прилегают углы $\alpha$ и $\beta$, наклонена к плоскости основания под углом $\gamma$. Сторона, к которой прилегают углы $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$ — это сторона $AB$. Обозначим её длину как $c$. Рассмотрим боковую грань $ABB'A'$, построенную на стороне $AB$. Пусть $A'B$ — её диагональ. Поскольку призма прямая, её боковое ребро $AA'$ перпендикулярно основанию. Следовательно, треугольник $A'AB$ — прямоугольный ($\angle A'AB = 90^\circ$). Проекцией диагонали $A'B$ на плоскость основания является сторона $AB$. Угол между диагональю и её проекцией — это и есть угол наклона, то есть $\angle A'BA = \gamma$. Из прямоугольного треугольника $A'AB$ находим высоту призмы $H = AA'$: $H = AB \cdot \tan(\angle A'BA) = c \cdot \tan(\gamma)$.

Нахождение элементов треугольника в основании

Для нахождения высоты $H$ и площади основания $S_{осн}$ нам понадобится длина стороны $c = AB$. Воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$: $\frac{a}{\sin(\angle A)} = \frac{c}{\sin(\angle C)}$ $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))}$ Так как $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, то $\sin(180^\circ - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)$. Отсюда выражаем $c$: $c = \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha)}$

Теперь можем найти высоту призмы $H$: $H = c \cdot \tan(\gamma) = \frac{a \sin(\alpha + \beta) \tan(\gamma)}{\sin(\alpha)}$

Нахождение площади основания

Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле, использующей две стороны и угол между ними. Возьмём стороны $BC=a$, $AB=c$ и угол между ними $\angle B = \beta$: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AB \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{2} a c \sin(\beta)$ Подставим найденное выражение для $c$: $S_{осн} = \frac{1}{2} a \left( \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha)} \right) \sin(\beta) = \frac{a^2 \sin(\beta) \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin(\alpha)}$

Вычисление объёма призмы

Теперь, имея площадь основания и высоту, найдём объём призмы: $V = S_{осн} \cdot H = \left( \frac{a^2 \sin(\beta) \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin(\alpha)} \right) \cdot \left( \frac{a \sin(\alpha + \beta) \tan(\gamma)}{\sin(\alpha)} \right)$ $V = \frac{a^3 \sin(\beta) \sin^2(\alpha + \beta) \tan(\gamma)}{2 \sin^2(\alpha)}$

Ответ: $V = \frac{a^3 \sin(\beta) \sin^2(\alpha + \beta) \tan(\gamma)}{2 \sin^2(\alpha)}$