Номер 244, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

244. В правильной шестиугольной призме диагональ боковой грани равна 13 см, а площадь боковой поверхности – $360\text{ см}^2$. Найдите объём призмы.

244. В правильной шестиугольной призме диагональ боковой грани равна 13 см, а площадь боковой поверхности – $360 \, \text{см}^2$. Найдите объём призмы.

Пусть $a$ — сторона основания правильной шестиугольной призмы, а $h$ — её высота. Боковая грань призмы представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $h$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна произведению периметра основания на высоту. Периметр основания $P_{осн} = 6a$. Таким образом, $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 6ah$. По условию $S_{бок} = 360 \text{ см}^2$, следовательно, $6ah = 360$, откуда получаем уравнение $ah = 60$.

Диагональ боковой грани $d$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $h$. По теореме Пифагора: $a^2 + h^2 = d^2$. По условию $d = 13 \text{ см}$, значит, мы получаем второе уравнение $a^2 + h^2 = 13^2 = 169$.

Для нахождения $a$ и $h$ решим систему уравнений:

$ah = 60$

$a^2 + h^2 = 169$

Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+h)^2 = a^2 + 2ah + h^2$. Подставим известные значения: $(a+h)^2 = 169 + 2 \cdot 60 = 169 + 120 = 289$. Так как $a$ и $h$ — длины, их сумма положительна, поэтому $a+h = \sqrt{289} = 17$.

Теперь у нас есть более простая система: $a+h=17$ и $ah=60$. Согласно теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $h$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 17t + 60 = 0$. Решим его:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49 = 7^2$

$t_1 = \frac{17 - 7}{2} = 5$

$t_2 = \frac{17 + 7}{2} = 12$

Таким образом, мы имеем два возможных случая для размеров призмы:

1. Сторона основания $a = 5 \text{ см}$ и высота $h = 12 \text{ см}$.

2. Сторона основания $a = 12 \text{ см}$ и высота $h = 5 \text{ см}$.

Объем призмы $V$ находится по формуле $V = S_{осн} \cdot h$. Площадь основания $S_{осн}$, которое является правильным шестиугольником, вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

Рассчитаем объем для каждого случая.

Случай 1: $a = 5 \text{ см}$, $h = 12 \text{ см}$.

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 5^2 = \frac{75\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$.

$V_1 = S_{осн} \cdot h = \frac{75\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 75\sqrt{3} \cdot 6 = 450\sqrt{3} \text{ см}^3$.

Случай 2: $a = 12 \text{ см}$, $h = 5 \text{ см}$.

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 12^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 144 = 3\sqrt{3} \cdot 72 = 216\sqrt{3} \text{ см}^2$.

$V_2 = S_{осн} \cdot h = 216\sqrt{3} \cdot 5 = 1080\sqrt{3} \text{ см}^3$.

Задача имеет два возможных решения, так как оба набора измерений удовлетворяют условиям.

Ответ: $450\sqrt{3} \text{ см}^3$ или $1080\sqrt{3} \text{ см}^3$.