Номер 239, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

239. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом $\alpha$. Большая диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём призмы, если меньшая диагональ её основания равна $d$.

239. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом $\alpha$. Большая диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём призмы, если меньшая диагональ её основания равна $d$.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдём площадь основания.
Основанием является ромб с острым углом $\alpha$ и меньшей диагональю $d$. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Обозначим большую диагональ ромба как $D_{осн}$.
Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей ($d/2$ и $D_{осн}/2$) и стороной ромба. Угол, противолежащий катету $d/2$, равен $\alpha/2$.
Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{d/2}{D_{осн}/2} = \frac{d}{D_{осн}}$.
Отсюда выразим большую диагональ основания:$D_{осн} = \frac{d}{\tan(\alpha/2)} = d \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.
Теперь можем вычислить площадь основания:$S_{осн} = \frac{1}{2} d \cdot D_{осн} = \frac{1}{2} d \cdot d \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{2} d^2 \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

2. Найдём высоту призмы.
Призма прямая, поэтому её высота $H$ равна боковому ребру. Большая диагональ призмы, её проекция на плоскость основания (которая является большей диагональю основания $D_{осн}$) и высота призмы $H$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания по условию равен $\beta$. В этом прямоугольном треугольнике катет $H$ противолежит углу $\beta$, а другой катет равен $D_{осн}$.
Следовательно, $\tan(\beta) = \frac{H}{D_{осн}}$.
Отсюда находим высоту призмы:$H = D_{осн} \tan(\beta) = d \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

3. Найдём объём призмы.
Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма:$V = S_{осн} \cdot H = \left( \frac{1}{2} d^2 \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \right) \cdot \left( d \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta) \right)$.
$V = \frac{1}{2} d^3 \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

Ответ: $V = \frac{1}{2} d^3 \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.