Номер 237, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

237. Меньшая сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна 6 см, а угол между диагоналями основания равен $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда, если его диагональ образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

237. Меньшая сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна 6 см, а угол между диагоналями основания равен $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда, если его диагональ образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

Для решения задачи выполним следующие шаги: найдем размеры основания параллелепипеда, затем его высоту и, наконец, вычислим объем.

1. Найдем стороны и диагональ основания.

Основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник. Пусть его стороны равны $a$ и $b$. По условию, меньшая сторона $a = 6$ см. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Угол между диагоналями равен $60°$.

Рассмотрим треугольник, образованный меньшей стороной $a$ и двумя половинами диагоналей. Этот треугольник является равнобедренным, так как две его стороны — это половины диагоналей. Угол при вершине, образованной пересечением диагоналей, равен $60°$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, и каждый из них составляет $(180° - 60°) / 2 = 60°$.

Следовательно, этот треугольник является равносторонним. Это означает, что половина диагонали основания равна меньшей стороне основания:

$\frac{d_{осн}}{2} = a = 6$ см

Отсюда находим длину диагонали основания $d_{осн}$:

$d_{осн} = 2 \cdot 6 = 12$ см

Теперь найдем вторую сторону основания $b$, используя теорему Пифагора для прямоугольника, где квадрат диагонали равен сумме квадратов его сторон: $d_{осн}^2 = a^2 + b^2$.

$b^2 = d_{осн}^2 - a^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108$

$b = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см

Так как $6\sqrt{3} > 6$, сторона $a=6$ см действительно является меньшей.

Площадь основания $S_{осн}$ равна:

$S_{осн} = a \cdot b = 6 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Найдем высоту параллелепипеда.

Диагональ параллелепипеда $D$, его высота $h$ и диагональ основания $d_{осн}$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания — это угол между $D$ и $d_{осн}$, который по условию равен $30°$.

В этом прямоугольном треугольнике высота $h$ является катетом, противолежащим углу $30°$, а $d_{осн}$ — прилежащим катетом. Их соотношение определяется через тангенс угла:

$\tan(30°) = \frac{h}{d_{осн}}$

Выразим отсюда высоту $h$:

$h = d_{осн} \cdot \tan(30°) = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см

3. Найдем объем параллелепипеда.

Объем $V$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$.

Подставим найденные значения площади основания и высоты:

$V = 36\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = (36 \cdot 4) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 144 \cdot 3 = 432$ см$^3$.

Ответ: $432$ см$^3$.