Номер 231, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

231. Радиус шара, вписанного в усечённый конус, равен 12 см, а образующая усечённого конуса — 25 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

231. Радиус шара, вписанного в усечённый конус, равен 12 см, а образующая усечённого конуса — 25 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:$S_{бок} = \pi(R+r)l$, где $R$ и $r$ – радиусы большего и меньшего оснований соответственно, а $l$ – длина образующей.

В условии даны:

• Радиус вписанного шара $r_{шара} = 12$ см.
• Образующая усечённого конуса $l = 25$ см.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, в которую вписана окружность (большой круг вписанного шара).

Для любого четырёхугольника, в который можно вписать окружность, существует свойство: суммы длин его противоположных сторон равны. В нашем случае, для равнобедренной трапеции, которая является осевым сечением, основаниями служат диаметры оснований конуса ($2R$ и $2r$), а боковыми сторонами – образующие ($l$).

Применяя это свойство, получаем:Сумма оснований = Сумма боковых сторон$2R + 2r = l + l$$2(R+r) = 2l$Отсюда следует важное соотношение:$R+r = l$

Так как по условию образующая $l = 25$ см, то сумма радиусов оснований конуса также равна 25 см:$R+r = 25$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности усечённого конуса, подставив известные значения в формулу:$S_{бок} = \pi(R+r)l = \pi \cdot 25 \cdot 25 = 625\pi \text{ см}^2$.

Заметим, что радиус вписанного шара ($r_{шара} = 12$ см) не потребовался для прямого вычисления, но он гарантирует, что в данный усеченный конус можно вписать шар. Высота такого конуса $h$ равна диаметру вписанного шара, т.е. $h = 2 \cdot 12 = 24$ см. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, образующей и разностью радиусов, по теореме Пифагора имеем $l^2 = h^2 + (R-r)^2$, то есть $25^2 = 24^2 + (R-r)^2$, что является верным равенством ($625 = 576 + 49$).

Ответ: $625\pi \text{ см}^2$.