Номер 226, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

226. Образующая конуса равна $a$, а угол при вершине его осевого сечения равен $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, вписанного в конус.

226. Образующая конуса равна $a$, а угол при вершине его осевого сечения равен $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, вписанного в конус.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей конуса $a$, а угол при вершине равен $\alpha$. Шар, вписанный в конус, в этом сечении будет представлять собой круг, вписанный в данный равнобедренный треугольник. Площадь большого круга шара равна площади этого вписанного круга.

Пусть осевое сечение — это треугольник $PAB$ с вершиной $P$, где $PA = PB = a$ и $\angle APB = \alpha$. Пусть $O$ — центр вписанного шара (и вписанного в треугольник $PAB$ круга), а $r$ — его радиус. Центр $O$ лежит на высоте (которая также является биссектрисой и медианой) $PC$ треугольника $PAB$, где $C$ - центр основания конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $PCA$. В этом треугольнике гипотенуза $PA = a$ (образующая конуса), а угол $\angle APC = \frac{\alpha}{2}$, так как высота $PC$ является биссектрисой угла $\alpha$. Катет $AC$ — это радиус основания конуса $R$. Найдем $R$:

$R = AC = PA \cdot \sin(\angle APC) = a \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAC$. В нем катет $OC$ равен радиусу вписанного шара $r$, а катет $AC=R$. Угол $\angle PAC$ в треугольнике $PCA$ равен $90^\circ - \angle APC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Линия $AO$ является биссектрисой угла $PAC$, поэтому $\angle OAC = \frac{1}{2}\angle PAC = \frac{1}{2}\left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.

В прямоугольном треугольнике $OAC$ тангенс угла $\angle OAC$ равен отношению противолежащего катета $OC$ к прилежащему катету $AC$:

$\tan(\angle OAC) = \frac{OC}{AC} \Rightarrow \tan\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right) = \frac{r}{R}$

Отсюда выразим радиус вписанного шара $r$:

$r = R \cdot \tan\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right) = a \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)$.

Площадь большого круга вписанного шара вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Подставим найденное выражение для $r$:

$S = \pi \left( a \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right) \right)^2 = \pi a^2 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan^2\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)$.

Для упрощения выражения воспользуемся тригонометрической формулой $\tan^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{1+\cos(2x)}$. Применим ее для $x = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$, тогда $2x = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$:

$\tan^2\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right) = \frac{1 - \cos\left(2\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)\right)}{1 + \cos\left(2\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)\right)} = \frac{1 - \cos\left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right)}{1 + \cos\left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{1 - \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 + \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$.

Подставим это упрощенное выражение в формулу для площади:

$S = \pi a^2 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \frac{1 - \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 + \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$.

Ответ: $S = \pi a^2 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \frac{1 - \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 + \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$.