Номер 222, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

222. Образующая усечённого конуса равна 30 см, а диагональ его осевого сечения перпендикулярна образующей, лежащей в плоскости сечения. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если радиус шара, описанного около него, равен 25 см.

222. Образующая усечённого конуса равна 30 см, а диагональ его осевого сечения перпендикулярна образующей, лежащей в плоскости сечения. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если радиус шара, описанного около него, равен 25 см.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобокая трапеция, вписанная в окружность большого круга описанного шара. Обозначим вершины трапеции как $A, B, C, D$, где $DC$ — большее основание, а $AB$ — меньшее. $AD$ и $BC$ — образующие усечённого конуса, а $AC$ — диагональ осевого сечения.

Пусть $l$ — длина образующей, $r_1$ и $r_2$ — радиусы меньшего и большего оснований конуса соответственно ($r_1 = AB/2$, $r_2 = DC/2$), $R$ — радиус описанного шара.

По условию:
- Образующая $l = AD = 30$ см.
- Диагональ осевого сечения $AC$ перпендикулярна образующей $AD$, т.е. $\angle DAC = 90^\circ$.
- Радиус описанного шара $R = 25$ см.

Так как трапеция $ABCD$ вписана в окружность радиусом $R = 25$ см, то эта окружность является описанной и для треугольника $ADC$.

Применим теорему синусов для треугольника $ADC$: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности.
$\frac{DC}{\sin(\angle DAC)} = 2R$

Поскольку $\angle DAC = 90^\circ$, то $\sin(\angle DAC) = \sin(90^\circ) = 1$.
Следовательно, $DC = 2R$.
$DC = 2 \cdot 25 = 50$ см.

$DC$ является диаметром большего основания усеченного конуса. Тогда его радиус $r_2$:
$r_2 = \frac{DC}{2} = \frac{50}{2} = 25$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. По теореме Пифагора:
$AC^2 + AD^2 = DC^2$
$AC^2 + 30^2 = 50^2$
$AC^2 = 2500 - 900 = 1600$
$AC = \sqrt{1600} = 40$ см.

Проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к основанию $DC$. В прямоугольном треугольнике $ADC$ высота $AH$ может быть найдена через площадь:
$S_{ADC} = \frac{1}{2} AD \cdot AC = \frac{1}{2} DC \cdot AH$
$AD \cdot AC = DC \cdot AH$
$30 \cdot 40 = 50 \cdot AH$
$AH = \frac{1200}{50} = 24$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AHD$. По теореме Пифагора:
$DH^2 + AH^2 = AD^2$
$DH^2 + 24^2 = 30^2$
$DH^2 = 900 - 576 = 324$
$DH = \sqrt{324} = 18$ см.

Для равнобокой трапеции отрезок $DH$ равен полуразности оснований:
$DH = \frac{DC - AB}{2} = \frac{2r_2 - 2r_1}{2} = r_2 - r_1$
$18 = 25 - r_1$
$r_1 = 25 - 18 = 7$ см.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности усеченного конуса по формуле $S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l$:
$S_{бок} = \pi (7 + 25) \cdot 30 = \pi \cdot 32 \cdot 30 = 960\pi$ см².

Ответ: $960\pi$ см².