Номер 219, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

219. Образующая конуса равна $a$, а угол при вершине осевого сечения конуса равен $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, описанного около конуса.

219. Образующая конуса равна $a$, а угол при вершине осевого сечения конуса равен $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, описанного около конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Боковые стороны этого треугольника равны образующей конуса $a$, а угол при вершине равен $\alpha$.

Шар, описанный около конуса, будет также описан и около этого равнобедренного треугольника. Причем сечение шара, проходящее через ось конуса, является большим кругом этого шара. Таким образом, задача сводится к нахождению площади круга, описанного около равнобедренного треугольника со сторонами $a$, $a$ и углом $\alpha$ между ними.

Обозначим радиус описанной окружности (и, соответственно, радиус большого круга шара) как $R$. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов для треугольника: $ \frac{side}{\sin(\text{opposite angle})} = 2R $

В нашем равнобедренном треугольнике мы знаем боковую сторону $a$. Найдем угол, противолежащий этой стороне. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, то каждый угол при основании равен: $ \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} $

Теперь применим теорему синусов, используя боковую сторону $a$ и противолежащий ей угол $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$: $ \frac{a}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2})} = 2R $

Используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$, получаем: $ \frac{a}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = 2R $

Отсюда выразим радиус $R$: $ R = \frac{a}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} $

Площадь большого круга шара $S$ находится по формуле $S = \pi R^2$. Подставим в нее найденное выражение для $R$: $ S = \pi \left( \frac{a}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} \right)^2 = \pi \frac{a^2}{4\cos^2(\frac{\alpha}{2})} $

Ответ: $ \frac{\pi a^2}{4\cos^2(\frac{\alpha}{2})} $