Номер 218, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

218. Радиус основания конуса равен 8 см, а его образующая – 17 см. Найдите радиус шара, описанного около конуса.

218. Радиус основания конуса равен 8 см, а его образующая — 17 см. Найдите радиус шара, описанного около конуса.

Пусть $r$ — радиус основания конуса, $l$ — его образующая, а $h$ — высота. По условию задачи $r = 8$ см и $l = 17$ см. Шар, описанный около конуса, имеет центр, который лежит на оси конуса.

Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Оно представляет собой равнобедренный треугольник (осевое сечение конуса), вписанный в окружность большого круга шара. Радиус этой окружности, обозначим его $R$, и является искомым радиусом шара.

Сначала найдем высоту конуса $h$. Высота, радиус основания и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: $h^2 + r^2 = l^2$ Подставим известные значения: $h^2 + 8^2 = 17^2$ $h^2 + 64 = 289$ $h^2 = 289 - 64 = 225$ $h = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь найдем радиус шара $R$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются: центр шара, центр основания конуса и любая точка на окружности основания конуса. Гипотенузой этого треугольника является радиус шара $R$. Один катет — это радиус основания конуса $r = 8$ см. Другой катет — это расстояние от центра шара до плоскости основания конуса. Поскольку центр шара лежит на высоте конуса, это расстояние равно $|h - R|$.

Применим теорему Пифагора к этому треугольнику: $R^2 = r^2 + (h - R)^2$ Подставим известные значения $r=8$ и $h=15$: $R^2 = 8^2 + (15 - R)^2$ $R^2 = 64 + 225 - 30R + R^2$ Упростим уравнение, сократив $R^2$ с обеих сторон: $0 = 289 - 30R$ $30R = 289$ $R = \frac{289}{30}$ см.

Ответ: $\frac{289}{30}$ см.