Номер 212, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

212. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $2\sqrt{5}$ см, а апофема — $4\sqrt{15}$ см. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

212. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $2\sqrt{5}$ см, а апофема — $4\sqrt{15}$ см. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

Для нахождения радиуса $r$ сферы, вписанной в правильную пирамиду, можно использовать формулу, связывающую объем пирамиды $V$ и площадь ее полной поверхности $S_{полн}$:$r = \frac{3V}{S_{полн}}$

Чтобы воспользоваться этой формулой, последовательно вычислим все необходимые величины.

1. Нахождение параметров основания.
В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник со стороной $a = 2\sqrt{5}$ см.
Площадь правильного шестиугольника ($S_{осн}$) вычисляется по формуле:$S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.
Подставив значение $a$, получим:$S_{осн} = \frac{3(2\sqrt{5})^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot (4 \cdot 5) \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 20\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}$ см².
Радиус окружности, вписанной в основание ($r_{осн}$), который является апофемой шестиугольника, равен:$r_{осн} = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{5}\sqrt{3}}{2} = \sqrt{15}$ см.

2. Нахождение высоты пирамиды.
Высоту пирамиды $H$ найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, апофемой пирамиды $l = 4\sqrt{15}$ см (гипотенуза) и радиусом вписанной в основание окружности $r_{осн} = \sqrt{15}$ см (катет). По теореме Пифагора:$l^2 = H^2 + r_{осн}^2$
$H^2 = l^2 - r_{осн}^2 = (4\sqrt{15})^2 - (\sqrt{15})^2 = 16 \cdot 15 - 15 = 15 \cdot (16 - 1) = 15 \cdot 15 = 225$
$H = \sqrt{225} = 15$ см.

3. Нахождение объема и площади полной поверхности.
Объем пирамиды ($V$) вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$
$V = \frac{1}{3} \cdot 30\sqrt{3} \cdot 15 = 10\sqrt{3} \cdot 15 = 150\sqrt{3}$ см³.

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) равна половине произведения периметра основания $P$ на апофему $l$.Периметр основания $P = 6a = 6 \cdot 2\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$ см.$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{15} = 6\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{15} = 24\sqrt{5 \cdot 15} = 24\sqrt{75} = 24\sqrt{25 \cdot 3} = 24 \cdot 5\sqrt{3} = 120\sqrt{3}$ см².

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) - это сумма площадей основания и боковой поверхности:$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 30\sqrt{3} + 120\sqrt{3} = 150\sqrt{3}$ см².

4. Нахождение радиуса вписанной сферы.
Теперь, когда все величины известны, подставим их в исходную формулу:$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot 150\sqrt{3}}{150\sqrt{3}} = 3$ см.

Ответ: 3 см.