Номер 209, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

209. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, один из углов которой равен $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если радиус вписанного в неё шара равен $3\sqrt{2}$ см.

209. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, один из углов которой равен $45^{\circ}$. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если радиус вписанного в неё шара равен $3\sqrt{2}$ см.

Поскольку призма прямая и в неё вписан шар, то высота призмы $H$ равна диаметру вписанного шара. Радиус шара по условию равен $R = 3\sqrt{2}$ см, следовательно, диаметр шара $D = 2R = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см. Таким образом, высота призмы $H = 6\sqrt{2}$ см.

Если в прямую призму можно вписать шар, то в её основание (в данном случае, в равнобокую трапецию) можно вписать окружность. Радиус этой окружности $r$ будет равен радиусу вписанного шара, то есть $r = 3\sqrt{2}$ см. Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной в неё окружности, поэтому $h = 2r = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим основание призмы – равнобокую трапецию. Один из её углов равен $45^\circ$. Так как трапеция равнобокая, это острый угол при большем основании. Проведём высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Образуется прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковая сторона трапеции $c$, одним из катетов – высота трапеции $h$, а прилежащий к высоте угол равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Таким образом, этот треугольник является равнобедренным, а также прямоугольным.

Найдём боковую сторону трапеции $c$ из этого треугольника, используя синус угла $45^\circ$:

$ \sin(45^\circ) = \frac{h}{c} $

Отсюда $c = \frac{h}{\sin(45^\circ)} = \frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 12$ см.

Важным свойством описанного четырехугольника (трапеции, в которую можно вписать окружность) является равенство сумм длин противоположных сторон. Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$. Тогда для нашей трапеции выполняется равенство: $a + b = c + c = 2c$.

Периметр основания $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$ P = a + b + c + c = (a+b) + 2c = 2c + 2c = 4c $

Подставим найденное значение $c$:

$ P = 4 \cdot 12 = 48 $ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = P \cdot H$, где $P$ – периметр основания, а $H$ – высота призмы.

$ S_{бок} = 48 \cdot 6\sqrt{2} = 288\sqrt{2} $ см$^2$.

Ответ: $288\sqrt{2}$ см$^2$.