Номер 208, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

208. В прямую призму вписан шар. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если площадь её основания равна $12 \text{ см}^2$.

208. В прямую призму вписан шар. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если площадь её основания равна $12 \text{ см}^2$.

Пусть $r$ — радиус вписанного шара, $H$ — высота призмы, $S_{осн}$ — площадь основания, $P_{осн}$ — периметр основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

Так как призма прямая, а шар в нее вписан, то шар касается обоих оснований призмы. Это означает, что расстояние между основаниями, то есть высота призмы $H$, равно диаметру шара $2r$.

$H = 2r$

Также шар касается всех боковых граней призмы. Это возможно только в том случае, если в многоугольник, лежащий в основании призмы, можно вписать окружность, и радиус этой окружности равен радиусу шара $r$.

Площадь многоугольника, в который вписана окружность, можно найти по формуле:

$S_{осн} = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр основания ($p = \frac{P_{осн}}{2}$), а $r$ — радиус вписанной окружности.

Подставим выражение для полупериметра:

$S_{осн} = \frac{P_{осн}}{2} \cdot r$

Отсюда можно выразить произведение периметра на радиус:

$P_{осн} \cdot r = 2 \cdot S_{осн}$

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$

Подставим в эту формулу $H = 2r$:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot (2r) = 2 \cdot (P_{осн} \cdot r)$

Теперь заменим произведение $P_{осн} \cdot r$ на $2 \cdot S_{осн}$:

$S_{бок} = 2 \cdot (2 \cdot S_{осн}) = 4 \cdot S_{осн}$

По условию задачи площадь основания $S_{осн} = 12 \text{ см}^2$. Найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 4 \cdot 12 = 48 \text{ см}^2$

Ответ: $48 \text{ см}^2$.