Номер 203, страница 97 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

203. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $60^\circ$. Радиус сферы, описанной около пирамиды, равен 12 см. Найдите сторону основания пирамиды.

203. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $60^\circ$. Радиус сферы, описанной около пирамиды, равен 12 см. Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S. Основание ABC – равносторонний треугольник, а высота SO пирамиды проецируется в центр основания O, который также является центром описанной и вписанной окружностей основания.

Обозначим:

• $a$ – сторона основания (AB = BC = CA).
• $l$ – длина бокового ребра (SA = SB = SC).
• $h$ – высота пирамиды (SO).
• $R$ – радиус сферы, описанной около пирамиды ($R = 12$ см).
• $\alpha$ – угол наклона бокового ребра к плоскости основания ($\alpha = 60^\circ$).

Решение

Угол наклона бокового ребра (например, SA) к плоскости основания (ABC) – это угол между ребром SA и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра SA на плоскость основания является отрезок AO, где O – центр основания. Следовательно, искомый угол – это $\angle SAO = 60^\circ$.

Треугольник $\triangle SAO$ является прямоугольным, так как SO – высота пирамиды ($\angle SOA = 90^\circ$). В этом треугольнике:

• $AO$ – это радиус окружности, описанной около основания ABC. Обозначим его $R_{осн}$.
• $SO = h$ – высота пирамиды.
• $SA = l$ – боковое ребро.

Из $\triangle SAO$ имеем соотношения:

$R_{осн} = AO = l \cdot \cos(\angle SAO) = l \cdot \cos(60^\circ) = \frac{l}{2}$

$h = SO = l \cdot \sin(\angle SAO) = l \cdot \sin(60^\circ) = \frac{l\sqrt{3}}{2}$

Радиус $R$ сферы, описанной около правильной пирамиды, можно найти по формуле:

$R = \frac{l^2}{2h}$

Подставим в эту формулу выражение для $h$ через $l$:

$R = \frac{l^2}{2 \cdot \frac{l\sqrt{3}}{2}} = \frac{l^2}{l\sqrt{3}} = \frac{l}{\sqrt{3}}$

Мы знаем, что радиус описанной сферы $R = 12$ см. Найдем длину бокового ребра $l$:

$12 = \frac{l}{\sqrt{3}} \implies l = 12\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем радиус окружности, описанной около основания ($R_{осн}$):

$R_{осн} = \frac{l}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R_{осн}$ связан со стороной формулой:

$R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Отсюда выразим сторону основания $a$:

$a = R_{осн} \cdot \sqrt{3}$

Подставим найденное значение $R_{осн}$:

$a = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18$ см.

Ответ: 18 см.