Номер 199, страница 97 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

199. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ при основании. Высота призмы равна $H$. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

199. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ при основании. Высота призмы равна $H$. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

Пусть дана прямая призма, в основании которой лежит равнобедренный треугольник. Обозначим вершины нижнего основания как $A$, $B$, $C$. По условию задачи, боковые стороны треугольника равны $a$ (пусть это будут $AB$ и $AC$), а углы при основании $BC$ равны $\alpha$ (то есть, $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$). Высота призмы равна $H$.

Центр шара, описанного около прямой призмы, находится на середине высоты, соединяющей центры окружностей, описанных около оснований призмы. Радиус такого шара $R$ можно найти по формуле, связывающей его с радиусом окружности, описанной около основания ($R_{осн}$), и высотой призмы ($H$):

$$R^2 = R_{осн}^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$$

Сначала найдем радиус окружности, описанной около треугольника-основания. Воспользуемся следствием из теоремы синусов, согласно которому радиус описанной окружности равен отношению длины стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла. Для стороны $AC=a$ противолежащим является угол $\angle ABC = \alpha$.

$$R_{осн} = \frac{AC}{2 \sin(\angle ABC)} = \frac{a}{2 \sin(\alpha)}$$

Теперь подставим найденное значение $R_{осн}$ в формулу для радиуса описанного шара:

$$R^2 = \left(\frac{a}{2 \sin(\alpha)}\right)^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$$

Выполним возведение в квадрат:

$$R^2 = \frac{a^2}{4 \sin^2(\alpha)} + \frac{H^2}{4}$$

Приведем дроби к общему знаменателю $4 \sin^2(\alpha)$:

$$R^2 = \frac{a^2 + H^2 \sin^2(\alpha)}{4 \sin^2(\alpha)}$$

Наконец, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $R$. Поскольку $\alpha$ — это угол при основании равнобедренного треугольника, $0 < \alpha < 90^\circ$, и, следовательно, $\sin(\alpha) > 0$.

$$R = \sqrt{\frac{a^2 + H^2 \sin^2(\alpha)}{4 \sin^2(\alpha)}} = \frac{\sqrt{a^2 + H^2 \sin^2(\alpha)}}{2 \sin(\alpha)}$$

Ответ: $R = \frac{\sqrt{a^2 + H^2 \sin^2(\alpha)}}{2 \sin(\alpha)}$