Номер 200, страница 97 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

200. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $4\text{ см}$, а угол при вершине диагонального сечения — $120^\circ$. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

200. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а угол при вершине диагонального сечения — $120^\circ$. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида `SABCD`, где `ABCD` — квадратное основание, а `S` — вершина.

1. Нахождение диагонали основания.

Основанием пирамиды является квадрат `ABCD` со стороной $a = 4$ см. Диагональ квадрата `AC` можно найти по теореме Пифагора или по формуле $d = a\sqrt{2}$.

$AC = 4\sqrt{2}$ см.

2. Анализ диагонального сечения.

Диагональное сечение пирамиды — это треугольник `SAC`. Поскольку пирамида правильная, ее боковые ребра равны, то есть $SA = SC$. Следовательно, треугольник `SAC` является равнобедренным.

По условию, угол при вершине этого сечения равен $120^\circ$, то есть $\angle ASC = 120^\circ$.

3. Нахождение радиуса описанной сферы.

Сфера, описанная около пирамиды, проходит через все ее вершины. Это означает, что вершины треугольника `SAC` (точки `S`, `A`, `C`) лежат на этой сфере. Следовательно, радиус сферы, описанной около пирамиды, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника `SAC`.

Радиус `R` описанной окружности для любого треугольника можно найти по формуле, которая является следствием теоремы синусов: $R = \frac{\text{сторона}}{2 \cdot \sin(\text{противолежащего угла})}$.

Применим эту формулу к треугольнику `SAC`, используя сторону `AC` и противолежащий ей угол $\angle ASC$.

$R = \frac{AC}{2\sin(\angle ASC)}$

Подставим известные значения:

$R = \frac{4\sqrt{2}}{2\sin(120^\circ)}$

Значение синуса $120^\circ$ равно значению синуса $60^\circ$:

$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим это значение в формулу для радиуса:

$R = \frac{4\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$R = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{4\sqrt{6}}{3}$ см.