Номер 195, страница 96 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

195. Сечения шара, плоскости которых перпендикулярны, имеют общую хорду длиной $2\sqrt{11}$ см. Радиусы сечений равны 6 см и 12 см. Найдите радиус шара.

195. Сечения шара, плоскости которых перпендикулярны, имеют общую хорду длиной $2\sqrt{11}$ см. Радиусы сечений равны 6 см и 12 см. Найдите радиус шара.

Пусть $R$ — искомый радиус шара. Пусть $O$ — центр шара. Два сечения — это круги с радиусами $r_1 = 6$ см и $r_2 = 12$ см. Обозначим центры этих кругов $O_1$ и $O_2$ соответственно, а плоскости, в которых они лежат, — $P_1$ и $P_2$. По условию, $P_1 \perp P_2$.

Расстояние от центра шара до плоскости сечения связано с радиусом шара и радиусом сечения по теореме Пифагора. Обозначим $d_1 = OO_1$ и $d_2 = OO_2$. Тогда справедливы следующие соотношения:

$R^2 = d_1^2 + r_1^2 = d_1^2 + 6^2$

$R^2 = d_2^2 + r_2^2 = d_2^2 + 12^2$

Два сечения имеют общую хорду. Обозначим ее $AB$. По условию, длина хорды $l = |AB| = 2\sqrt{11}$ см. Пусть $M$ — середина этой хорды. Тогда $AM = \frac{l}{2} = \sqrt{11}$ см.

Рассмотрим первое сечение (круг с центром $O_1$ и радиусом $r_1=6$). В этом круге $AB$ является хордой. Расстояние от центра круга $O_1$ до хорды $AB$ — это длина перпендикуляра $O_1M$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1MA$ (где $O_1A$ — радиус $r_1$). По теореме Пифагора:

$r_1^2 = |O_1M|^2 + |AM|^2$

$6^2 = |O_1M|^2 + (\sqrt{11})^2$

$36 = |O_1M|^2 + 11$

$|O_1M|^2 = 25 \implies |O_1M| = 5$ см.

Аналогично, для второго сечения (круг с центром $O_2$ и радиусом $r_2=12$) рассмотрим прямоугольный треугольник $O_2MA$:

$r_2^2 = |O_2M|^2 + |AM|^2$

$12^2 = |O_2M|^2 + (\sqrt{11})^2$

$144 = |O_2M|^2 + 11$

$|O_2M|^2 = 133 \implies |O_2M| = \sqrt{133}$ см.

Теперь рассмотрим пространственное расположение. Введем прямоугольную систему координат. Поместим середину хорды $M$ в начало координат $(0,0,0)$. Направим ось $Oy$ вдоль хорды $AB$. Поскольку плоскости сечений $P_1$ и $P_2$ перпендикулярны и обе проходят через хорду (ось $Oy$), мы можем совместить их с координатными плоскостями $xy$ и $yz$.

Пусть $P_1$ — это плоскость $xy$ ($z=0$), а $P_2$ — это плоскость $yz$ ($x=0$).

Центр первого сечения $O_1$ лежит в плоскости $xy$. Отрезок $O_1M$ перпендикулярен хорде $AB$ (оси $Oy$), следовательно, $O_1$ лежит на оси $Ox$. Координаты $O_1$ равны $(5, 0, 0)$.

Центр второго сечения $O_2$ лежит в плоскости $yz$. Отрезок $O_2M$ перпендикулярен хорде $AB$ (оси $Oy$), следовательно, $O_2$ лежит на оси $Oz$. Координаты $O_2$ равны $(0, 0, \sqrt{133})$.

Центр шара $O(x_c, y_c, z_c)$ таков, что отрезок $OO_1$ перпендикулярен плоскости $P_1$ (плоскости $xy$), а отрезок $OO_2$ перпендикулярен плоскости $P_2$ (плоскости $yz$).

Из условия $OO_1 \perp xy$ следует, что вектор $\vec{OO_1}$ параллелен оси $Oz$. Значит, $x$- и $y$-координаты точек $O$ и $O_1$ совпадают: $x_c = 5, y_c = 0$.

Из условия $OO_2 \perp yz$ следует, что вектор $\vec{OO_2}$ параллелен оси $Ox$. Значит, $y$- и $z$-координаты точек $O$ и $O_2$ совпадают: $y_c = 0, z_c = \sqrt{133}$.

Таким образом, центр шара имеет координаты $O(5, 0, \sqrt{133})$.

Радиус шара $R$ — это расстояние от его центра $O$ до любой точки на поверхности шара. Возьмем точку $A$ на хорде. Ее координаты $A(0, \sqrt{11}, 0)$. Найдем квадрат расстояния $OA$:

$R^2 = |OA|^2 = (5-0)^2 + (0-\sqrt{11})^2 + (\sqrt{133}-0)^2$

$R^2 = 25 + 11 + 133 = 169$

$R = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.