Номер 190, страница 96 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

190. Составьте уравнение сферы, которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точку $F (-1; 5; -2)$.

190. Составьте уравнение сферы, которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точку $F (-1; 5; -2)$.

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Из условия, что сфера касается каждой из координатных плоскостей ($Oxy$, $Oxz$, $Oyz$), следует, что расстояние от ее центра до каждой из этих плоскостей равно радиусу $R$. Расстояния от центра $C(x_0; y_0; z_0)$ до плоскостей $x=0$, $y=0$ и $z=0$ равны $|x_0|$, $|y_0|$ и $|z_0|$ соответственно.
Таким образом, выполняется равенство: $|x_0| = |y_0| = |z_0| = R$.

Сфера проходит через точку $F(-1; 5; -2)$. Координаты этой точки определяют октант, в котором расположена точка: $x < 0$, $y > 0$, $z < 0$. Поскольку сфера касается всех координатных плоскостей, ее центр должен находиться в том же октанте, что и точка $F$.
Следовательно, знаки координат центра сферы должны быть такими же: $x_0 < 0$, $y_0 > 0$, $z_0 < 0$.
Из этого и из условия $|x_0| = |y_0| = |z_0| = R$ находим координаты центра: $C(-R; R; -R)$.

Подставим координаты центра в общее уравнение сферы:
$(x - (-R))^2 + (y - R)^2 + (z - (-R))^2 = R^2$
$(x + R)^2 + (y - R)^2 + (z + R)^2 = R^2$

Теперь, чтобы найти значение радиуса $R$, подставим в полученное уравнение координаты точки $F(-1; 5; -2)$, через которую проходит сфера:
$(-1 + R)^2 + (5 - R)^2 + (-2 + R)^2 = R^2$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$(R^2 - 2R + 1) + (R^2 - 10R + 25) + (R^2 - 4R + 4) = R^2$
$3R^2 - 16R + 30 = R^2$
$2R^2 - 16R + 30 = 0$
Разделив уравнение на 2, получим:
$R^2 - 8R + 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Корнями являются:
$R_1 = 3$ и $R_2 = 5$.
Таким образом, существуют две сферы, удовлетворяющие заданным условиям.

1. Сфера с радиусом R = 3
Центр сферы: $C_1(-3; 3; -3)$.
Уравнение: $(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 3^2$.
$(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 9$.

2. Сфера с радиусом R = 5
Центр сферы: $C_2(-5; 5; -5)$.
Уравнение: $(x + 5)^2 + (y - 5)^2 + (z + 5)^2 = 5^2$.
$(x + 5)^2 + (y - 5)^2 + (z + 5)^2 = 25$.

Ответ: $(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 9$ или $(x + 5)^2 + (y - 5)^2 + (z + 5)^2 = 25$.