Номер 189, страница 96 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

189. К сфере проведена касательная плоскость. Расстояние от точки $M$, принадлежащей этой плоскости, до ближайшей к ней точки сферы равно 18 см, а расстояние до наиболее удалённой от неё точки сферы — 32 см. Найдите радиус сферы и расстояние от точки $M$ до точки касания сферы с плоскостью.

189. К сфере проведена касательная плоскость. Расстояние от точки $M$, принадлежащей этой плоскости, до ближайшей к ней точки сферы равно 18 см, а расстояние до наиболее удалённой от неё точки сферы — 32 см. Найдите радиус сферы и расстояние от точки $M$ до точки касания сферы с плоскостью.

Пусть O — центр сферы, R — ее радиус. Пусть касательная плоскость касается сферы в точке K. Точка M лежит в этой касательной плоскости. Ближайшая к M точка сферы (назовем ее A) и наиболее удаленная от M точка сферы (назовем ее B) лежат на прямой, проходящей через точку M и центр сферы O.

По условию, расстояние от M до точки A равно $MA = 18$ см, а до точки B — $MB = 32$ см. Отрезок AB, соединяющий эти две точки, является диаметром сферы, поэтому его длина $AB = 2R$. Из расположения точек M, A, B на одной прямой следует, что $MB = MA + AB$, или $MB = MA + 2R$.

Для нахождения радиуса сферы воспользуемся выведенным соотношением $MB = MA + 2R$. Подставим известные значения: $32 = 18 + 2R$

Выразим из этого уравнения диаметр сферы $2R$: $2R = 32 - 18 = 14$ см.

Следовательно, радиус сферы равен: $R = \frac{14}{2} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

Рассмотрим треугольник $\triangle OKM$. O — центр сферы, K — точка касания, M — заданная точка на плоскости.

Радиус, проведенный в точку касания ($OK$), перпендикулярен касательной плоскости. Поскольку прямая $MK$ лежит в касательной плоскости и проходит через точку K, то $OK \perp MK$. Это означает, что треугольник $\triangle OKM$ — прямоугольный с прямым углом при вершине K.

В этом треугольнике:

• Катет $OK$ равен радиусу сферы: $OK = R = 7$ см.
• Гипотенуза $OM$ — это расстояние от точки M до центра сферы. Его можно найти как сумму расстояния от M до ближайшей точки сферы A и радиуса AO: $OM = MA + AO = MA + R = 18 + 7 = 25$ см.
• Искомое расстояние $MK$ является вторым катетом.

Применим теорему Пифагора $OM^2 = OK^2 + MK^2$ и выразим катет $MK$: $MK^2 = OM^2 - OK^2$

Подставим числовые значения: $MK^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$

Найдем длину $MK$: $MK = \sqrt{576} = 24$ см.

Ответ: 24 см.