Страница 96 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

187. Составьте уравнение сферы с центром в точке C $(-5; 9; -1)$, которая касается плоскости $yz$.

187. Составьте уравнение сферы с центром в точке $C (-5; 9; -1)$, которая касается плоскости $yz$.

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

По условию задачи, центр сферы находится в точке $C(-5; 9; -1)$. Следовательно, координаты центра: $x_0 = -5$, $y_0 = 9$, $z_0 = -1$.

Сфера касается плоскости $yz$. Уравнение координатной плоскости $yz$ — это $x=0$, так как для всех точек, лежащих в этой плоскости, абсцисса равна нулю.

Поскольку сфера касается плоскости $yz$, ее радиус $R$ должен быть равен расстоянию от центра сферы $C$ до этой плоскости. Расстояние от точки с координатами $(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $yz$ (плоскости $x=0$) равно модулю ее координаты $x$, то есть $|x_0|$.

В данном случае радиус сферы равен:

$R = |x_0| = |-5| = 5$

Теперь, зная координаты центра и радиус, подставим эти значения в общую формулу уравнения сферы:

$(x - (-5))^2 + (y - 9)^2 + (z - (-1))^2 = 5^2$

Упростив выражение, получаем искомое уравнение:

$(x + 5)^2 + (y - 9)^2 + (z + 1)^2 = 25$

Ответ: $(x + 5)^2 + (y - 9)^2 + (z + 1)^2 = 25$

188. Плоскость $ \alpha $ касается шара с центром $ O $ в точке $ A $, точка $ B $ принадлежит плоскости $ \alpha $ (рис. 27). Найдите радиус шара, если $ AB = m $, $ \angle AOB = \gamma $.

188. Плоскость $\alpha$ касается шара с центром $O$ в точке $A$, точка $B$ принадлежит плоскости $\alpha$ (рис. 27). Найдите радиус шара, если $AB = m$, $\angle AOB = \gamma$.

Рис. 27

Поскольку плоскость α касается шара с центром в точке O в точке A, радиус шара OA, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости α. Это означает, что $ OA \perp \alpha $.

Так как точка B принадлежит плоскости α, то и вся прямая AB лежит в этой плоскости. Из того, что прямая OA перпендикулярна плоскости α, следует, что она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку A. Следовательно, $ OA \perp AB $.

Таким образом, треугольник ΔOAB является прямоугольным, где $ \angle OAB = 90^\circ $. В этом треугольнике:

• $ OA = R $ — радиус шара (прилежащий катет к углу $ \gamma $).
• $ AB = m $ — (противолежащий катет к углу $ \gamma $).
• $ \angle AOB = \gamma $ — известный угол.

Для нахождения радиуса R воспользуемся определением тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$ \tan(\angle AOB) = \frac{AB}{OA} $

Подставим известные значения в формулу:

$ \tan(\gamma) = \frac{m}{R} $

Теперь выразим радиус R из этого уравнения:

$ R = \frac{m}{\tan(\gamma)} $

Используя тригонометрическое тождество $ \cot(\gamma) = \frac{1}{\tan(\gamma)} $, можно также записать ответ в виде:

$ R = m \cdot \cot(\gamma) $

Ответ: $ \frac{m}{\tan(\gamma)} $

189. К сфере проведена касательная плоскость. Расстояние от точки $M$, принадлежащей этой плоскости, до ближайшей к ней точки сферы равно 18 см, а расстояние до наиболее удалённой от неё точки сферы — 32 см. Найдите радиус сферы и расстояние от точки $M$ до точки касания сферы с плоскостью.

189. К сфере проведена касательная плоскость. Расстояние от точки $M$, принадлежащей этой плоскости, до ближайшей к ней точки сферы равно 18 см, а расстояние до наиболее удалённой от неё точки сферы — 32 см. Найдите радиус сферы и расстояние от точки $M$ до точки касания сферы с плоскостью.

Пусть O — центр сферы, R — ее радиус. Пусть касательная плоскость касается сферы в точке K. Точка M лежит в этой касательной плоскости. Ближайшая к M точка сферы (назовем ее A) и наиболее удаленная от M точка сферы (назовем ее B) лежат на прямой, проходящей через точку M и центр сферы O.

По условию, расстояние от M до точки A равно $MA = 18$ см, а до точки B — $MB = 32$ см. Отрезок AB, соединяющий эти две точки, является диаметром сферы, поэтому его длина $AB = 2R$. Из расположения точек M, A, B на одной прямой следует, что $MB = MA + AB$, или $MB = MA + 2R$.

Для нахождения радиуса сферы воспользуемся выведенным соотношением $MB = MA + 2R$. Подставим известные значения: $32 = 18 + 2R$

Выразим из этого уравнения диаметр сферы $2R$: $2R = 32 - 18 = 14$ см.

Следовательно, радиус сферы равен: $R = \frac{14}{2} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

Рассмотрим треугольник $\triangle OKM$. O — центр сферы, K — точка касания, M — заданная точка на плоскости.

Радиус, проведенный в точку касания ($OK$), перпендикулярен касательной плоскости. Поскольку прямая $MK$ лежит в касательной плоскости и проходит через точку K, то $OK \perp MK$. Это означает, что треугольник $\triangle OKM$ — прямоугольный с прямым углом при вершине K.

В этом треугольнике:

• Катет $OK$ равен радиусу сферы: $OK = R = 7$ см.
• Гипотенуза $OM$ — это расстояние от точки M до центра сферы. Его можно найти как сумму расстояния от M до ближайшей точки сферы A и радиуса AO: $OM = MA + AO = MA + R = 18 + 7 = 25$ см.
• Искомое расстояние $MK$ является вторым катетом.

Применим теорему Пифагора $OM^2 = OK^2 + MK^2$ и выразим катет $MK$: $MK^2 = OM^2 - OK^2$

Подставим числовые значения: $MK^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$

Найдем длину $MK$: $MK = \sqrt{576} = 24$ см.

Ответ: 24 см.

190. Составьте уравнение сферы, которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точку $F (-1; 5; -2)$.

190. Составьте уравнение сферы, которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точку $F (-1; 5; -2)$.

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Из условия, что сфера касается каждой из координатных плоскостей ($Oxy$, $Oxz$, $Oyz$), следует, что расстояние от ее центра до каждой из этих плоскостей равно радиусу $R$. Расстояния от центра $C(x_0; y_0; z_0)$ до плоскостей $x=0$, $y=0$ и $z=0$ равны $|x_0|$, $|y_0|$ и $|z_0|$ соответственно.
Таким образом, выполняется равенство: $|x_0| = |y_0| = |z_0| = R$.

Сфера проходит через точку $F(-1; 5; -2)$. Координаты этой точки определяют октант, в котором расположена точка: $x < 0$, $y > 0$, $z < 0$. Поскольку сфера касается всех координатных плоскостей, ее центр должен находиться в том же октанте, что и точка $F$.
Следовательно, знаки координат центра сферы должны быть такими же: $x_0 < 0$, $y_0 > 0$, $z_0 < 0$.
Из этого и из условия $|x_0| = |y_0| = |z_0| = R$ находим координаты центра: $C(-R; R; -R)$.

Подставим координаты центра в общее уравнение сферы:
$(x - (-R))^2 + (y - R)^2 + (z - (-R))^2 = R^2$
$(x + R)^2 + (y - R)^2 + (z + R)^2 = R^2$

Теперь, чтобы найти значение радиуса $R$, подставим в полученное уравнение координаты точки $F(-1; 5; -2)$, через которую проходит сфера:
$(-1 + R)^2 + (5 - R)^2 + (-2 + R)^2 = R^2$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$(R^2 - 2R + 1) + (R^2 - 10R + 25) + (R^2 - 4R + 4) = R^2$
$3R^2 - 16R + 30 = R^2$
$2R^2 - 16R + 30 = 0$
Разделив уравнение на 2, получим:
$R^2 - 8R + 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Корнями являются:
$R_1 = 3$ и $R_2 = 5$.
Таким образом, существуют две сферы, удовлетворяющие заданным условиям.

1. Сфера с радиусом R = 3
Центр сферы: $C_1(-3; 3; -3)$.
Уравнение: $(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 3^2$.
$(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 9$.

2. Сфера с радиусом R = 5
Центр сферы: $C_2(-5; 5; -5)$.
Уравнение: $(x + 5)^2 + (y - 5)^2 + (z + 5)^2 = 5^2$.
$(x + 5)^2 + (y - 5)^2 + (z + 5)^2 = 25$.

Ответ: $(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 9$ или $(x + 5)^2 + (y - 5)^2 + (z + 5)^2 = 25$.

191. Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы $(x+3)^2 + (y-2)^2 + (z-6)^2 = 36$ в точке $D (-5; -2; 10)$.

191. Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 6)^2 = 36$ в точке $D (-5; -2; 10)$.

Уравнение сферы в общем виде записывается как $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где точка $C(x_0, y_0, z_0)$ является центром сферы, а $R$ — её радиусом.

В нашем случае уравнение сферы дано в виде $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 6)^2 = 36$.

Отсюда мы можем определить координаты центра сферы $C$ и её радиус:

• Координаты центра: $C(-3; 2; 6)$.
• Квадрат радиуса: $R^2 = 36$, следовательно, радиус $R = 6$.

Плоскость, касающаяся сферы в некоторой точке, перпендикулярна радиусу, проведенному из центра сферы в эту точку касания. Это означает, что вектор, соединяющий центр сферы $C$ и точку касания $D$, является вектором нормали $\vec{n}$ к искомой плоскости.

Найдем координаты вектора нормали $\vec{n}$, который совпадает с вектором $\vec{CD}$:

$\vec{n} = \vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C)$

Подставляем координаты точек $C(-3; 2; 6)$ и $D(-5; -2; 10)$:

$\vec{n} = (-5 - (-3); -2 - 2; 10 - 6) = (-2; -4; 4)$

Теперь у нас есть вектор нормали к плоскости $\vec{n}(-2; -4; 4)$ и точка $D(-5; -2; 10)$, через которую эта плоскость проходит.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ с вектором нормали $\vec{n}(A; B; C)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Подставляем координаты вектора нормали $A=-2, B=-4, C=4$ и координаты точки $D(x_0=-5, y_0=-2, z_0=10)$:

$-2(x - (-5)) - 4(y - (-2)) + 4(z - 10) = 0$

$-2(x + 5) - 4(y + 2) + 4(z - 10) = 0$

Раскроем скобки:

$-2x - 10 - 4y - 8 + 4z - 40 = 0$

Приведем подобные члены:

$-2x - 4y + 4z - 58 = 0$

Для упрощения уравнения можно разделить все его члены на $-2$:

$x + 2y - 2z + 29 = 0$

Ответ: $x + 2y - 2z + 29 = 0$.

192. Радиус шара равен 16 см. Шар касается всех сторон правильного треугольника со стороной 48 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

192. Радиус шара равен 16 см. Шар касается всех сторон правильного треугольника со стороной 48 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

Пусть $O$ — центр шара, а $R$ — его радиус. По условию, $R = 16$ см. Пусть данный правильный треугольник со стороной $a = 48$ см лежит в плоскости $\alpha$.

Так как шар касается всех трех сторон треугольника, то точки касания лежат на этих сторонах. Проекция центра шара $O$ на плоскость треугольника $\alpha$ является точкой, равноудаленной от всех сторон этого треугольника. В треугольнике такой точкой является центр вписанной окружности (инцентр). Обозначим эту точку-проекцию как $H$.

Искомое расстояние от центра шара до плоскости треугольника — это длина перпендикуляра $OH$. Обозначим это расстояние как $h$.

Расстояние от инцентра $H$ до любой из сторон треугольника — это радиус вписанной в треугольник окружности ($r$). Для правильного треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны треугольника $a = 48$ см:

$r = \frac{48}{2\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OHT$, где $T$ — любая из точек касания шара со стороной треугольника. В этом треугольнике:

• $OT$ — гипотенуза, равная радиусу шара $R$, так как это расстояние от центра шара до точки на его поверхности. $OT = R = 16$ см.

• $OH$ — катет, равный искомому расстоянию $h$.

• $HT$ — катет, равный радиусу вписанной окружности $r$, так как $H$ — инцентр, а $T$ — точка касания. $HT = r = 8\sqrt{3}$ см.

По теореме Пифагора, $OT^2 = OH^2 + HT^2$, или $R^2 = h^2 + r^2$. Выразим и найдем $h$:

$h^2 = R^2 - r^2$

$h^2 = 16^2 - (8\sqrt{3})^2$

$h^2 = 256 - (64 \cdot 3)$

$h^2 = 256 - 192$

$h^2 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

193. Стороны треугольника равны 6 см, 25 см и 29 см. Расстояние центра шара, касающегося всех сторон треугольника, до плоскости треугольника равно $3\sqrt{5}$ см. Найдите радиус шара.

193. Стороны треугольника равны 6 см, 25 см и 29 см. Расстояние центра шара, касающегося всех сторон треугольника, до плоскости треугольника равно $3\sqrt{5}$ см. Найдите радиус шара.

Пусть стороны треугольника равны $a = 6$ см, $b = 25$ см и $c = 29$ см.Пусть $O$ — центр шара, а $R$ — его радиус. Шар касается всех сторон треугольника, это означает, что его центр $O$ равноудален от этих сторон.

Проекция центра шара $O$ на плоскость треугольника, точка $O'$, является центром вписанной в треугольник окружности (инцентром). Расстояние от инцентра $O'$ до сторон треугольника — это радиус вписанной окружности $r$.

Расстояние от центра шара $O$ до плоскости треугольника, по условию, равно $h = OO' = 3\sqrt{5}$ см.

Радиус шара $R$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются радиус вписанной окружности $r$ и расстояние от центра шара до плоскости треугольника $h$. Таким образом, по теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + h^2$

Для нахождения $R$, сначала необходимо вычислить радиус вписанной окружности $r$.

1. Вычисление полупериметра и площади треугольника

Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+25+29}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

Площадь треугольника $S$ найдем по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{30(30-6)(30-25)(30-29)} = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{3600} = 60$ см$^2$.

2. Вычисление радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности $r$ находится по формуле:

$r = \frac{S}{p} = \frac{60}{30} = 2$ см.

3. Вычисление радиуса шара

Теперь, зная $r=2$ см и $h=3\sqrt{5}$ см, можем найти радиус шара $R$:

$R^2 = r^2 + h^2 = 2^2 + (3\sqrt{5})^2 = 4 + 9 \cdot 5 = 4 + 45 = 49$

$R = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

194. Шар касается всех сторон равнобокой трапеции, боковая сторона которой равна $4\sqrt{3}$ см, а острый угол — $60^\circ$. Найдите расстояние от центра шара до плоскости трапеции, если радиус шара равен 5 см.

194. Шар касается всех сторон равнобокой трапеции, боковая сторона которой равна $4\sqrt{3}$ см, а острый угол — $60^{\circ}$. Найдите расстояние от центра шара до плоскости трапеции, если радиус шара равен 5 см.

Пусть $O$ — центр шара, а $R$ — его радиус. По условию $R = 5$ см.

Так как шар касается всех сторон равнобокой трапеции, то проекция центра шара $O$ на плоскость трапеции совпадает с центром вписанной в трапецию окружности. Обозначим эту проекцию как $O'$.

Расстояние от центра шара до плоскости трапеции — это длина перпендикуляра $OO'$, обозначим ее $d$.

Рассмотрим точку касания $T$ шара с одной из сторон трапеции. Отрезок $OT$ является радиусом шара, и он перпендикулярен стороне трапеции. Отрезок $O'T$ является радиусом вписанной в трапецию окружности (обозначим его $r$), и он также перпендикулярен этой же стороне.

Треугольник $OO'T$ является прямоугольным с гипотенузой $OT = R$ и катетами $OO' = d$ и $O'T = r$. По теореме Пифагора:$R^2 = d^2 + r^2$

Чтобы найти $d$, нам нужно сначала найти радиус вписанной окружности $r$. Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты $h$:$r = \frac{h}{2}$

Найдем высоту трапеции. В равнобокой трапеции опустим высоту из вершины тупого угла на большее основание. Получим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции $c = 4\sqrt{3}$ см, а одним из острых углов — угол при основании трапеции $\alpha = 60°$. Высота $h$ является катетом, противолежащим этому углу.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике:$h = c \cdot \sin(\alpha) = 4\sqrt{3} \cdot \sin(60°)$

Так как $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:$h = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности:$r = \frac{h}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Подставим известные значения $R$ и $r$ в формулу теоремы Пифагора, чтобы найти искомое расстояние $d$:$d^2 = R^2 - r^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$$d = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

195. Сечения шара, плоскости которых перпендикулярны, имеют общую хорду длиной $2\sqrt{11}$ см. Радиусы сечений равны 6 см и 12 см. Найдите радиус шара.

195. Сечения шара, плоскости которых перпендикулярны, имеют общую хорду длиной $2\sqrt{11}$ см. Радиусы сечений равны 6 см и 12 см. Найдите радиус шара.

Пусть $R$ — искомый радиус шара. Пусть $O$ — центр шара. Два сечения — это круги с радиусами $r_1 = 6$ см и $r_2 = 12$ см. Обозначим центры этих кругов $O_1$ и $O_2$ соответственно, а плоскости, в которых они лежат, — $P_1$ и $P_2$. По условию, $P_1 \perp P_2$.

Расстояние от центра шара до плоскости сечения связано с радиусом шара и радиусом сечения по теореме Пифагора. Обозначим $d_1 = OO_1$ и $d_2 = OO_2$. Тогда справедливы следующие соотношения:

$R^2 = d_1^2 + r_1^2 = d_1^2 + 6^2$

$R^2 = d_2^2 + r_2^2 = d_2^2 + 12^2$

Два сечения имеют общую хорду. Обозначим ее $AB$. По условию, длина хорды $l = |AB| = 2\sqrt{11}$ см. Пусть $M$ — середина этой хорды. Тогда $AM = \frac{l}{2} = \sqrt{11}$ см.

Рассмотрим первое сечение (круг с центром $O_1$ и радиусом $r_1=6$). В этом круге $AB$ является хордой. Расстояние от центра круга $O_1$ до хорды $AB$ — это длина перпендикуляра $O_1M$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1MA$ (где $O_1A$ — радиус $r_1$). По теореме Пифагора:

$r_1^2 = |O_1M|^2 + |AM|^2$

$6^2 = |O_1M|^2 + (\sqrt{11})^2$

$36 = |O_1M|^2 + 11$

$|O_1M|^2 = 25 \implies |O_1M| = 5$ см.

Аналогично, для второго сечения (круг с центром $O_2$ и радиусом $r_2=12$) рассмотрим прямоугольный треугольник $O_2MA$:

$r_2^2 = |O_2M|^2 + |AM|^2$

$12^2 = |O_2M|^2 + (\sqrt{11})^2$

$144 = |O_2M|^2 + 11$

$|O_2M|^2 = 133 \implies |O_2M| = \sqrt{133}$ см.

Теперь рассмотрим пространственное расположение. Введем прямоугольную систему координат. Поместим середину хорды $M$ в начало координат $(0,0,0)$. Направим ось $Oy$ вдоль хорды $AB$. Поскольку плоскости сечений $P_1$ и $P_2$ перпендикулярны и обе проходят через хорду (ось $Oy$), мы можем совместить их с координатными плоскостями $xy$ и $yz$.

Пусть $P_1$ — это плоскость $xy$ ($z=0$), а $P_2$ — это плоскость $yz$ ($x=0$).

Центр первого сечения $O_1$ лежит в плоскости $xy$. Отрезок $O_1M$ перпендикулярен хорде $AB$ (оси $Oy$), следовательно, $O_1$ лежит на оси $Ox$. Координаты $O_1$ равны $(5, 0, 0)$.

Центр второго сечения $O_2$ лежит в плоскости $yz$. Отрезок $O_2M$ перпендикулярен хорде $AB$ (оси $Oy$), следовательно, $O_2$ лежит на оси $Oz$. Координаты $O_2$ равны $(0, 0, \sqrt{133})$.

Центр шара $O(x_c, y_c, z_c)$ таков, что отрезок $OO_1$ перпендикулярен плоскости $P_1$ (плоскости $xy$), а отрезок $OO_2$ перпендикулярен плоскости $P_2$ (плоскости $yz$).

Из условия $OO_1 \perp xy$ следует, что вектор $\vec{OO_1}$ параллелен оси $Oz$. Значит, $x$- и $y$-координаты точек $O$ и $O_1$ совпадают: $x_c = 5, y_c = 0$.

Из условия $OO_2 \perp yz$ следует, что вектор $\vec{OO_2}$ параллелен оси $Ox$. Значит, $y$- и $z$-координаты точек $O$ и $O_2$ совпадают: $y_c = 0, z_c = \sqrt{133}$.

Таким образом, центр шара имеет координаты $O(5, 0, \sqrt{133})$.

Радиус шара $R$ — это расстояние от его центра $O$ до любой точки на поверхности шара. Возьмем точку $A$ на хорде. Ее координаты $A(0, \sqrt{11}, 0)$. Найдем квадрат расстояния $OA$:

$R^2 = |OA|^2 = (5-0)^2 + (0-\sqrt{11})^2 + (\sqrt{133}-0)^2$

$R^2 = 25 + 11 + 133 = 169$

$R = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.