Страница 103 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

252. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 4 см и 3 см. Две его боковые грани — квадраты со стороной 4 см, а острый угол двух других граней равен $30^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

252. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами $4 \text{ см}$ и $3 \text{ см}$. Две его боковые грани — квадраты со стороной $4 \text{ см}$, а острый угол двух других граней равен $30^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Объем наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

Найдем площадь основания

Основанием параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 4 см и 3 см. Его площадь $S_{осн}$ равна произведению его сторон:

$S_{осн} = 4 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$

Найдем высоту параллелепипеда

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — данный наклонный параллелепипед, где $ABCD$ — прямоугольное основание со сторонами $AB=4$ см и $AD=3$ см.

По условию, две боковые грани являются квадратами со стороной 4 см. Это могут быть только грани, примыкающие к сторонам основания длиной 4 см, то есть грани $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$. Из этого следует, что:

1. Длина бокового ребра равна 4 см (например, $AA_1 = 4$ см).
2. Боковые ребра перпендикулярны сторонам $AB$ и $CD$ (например, угол $\angle A_1AB = 90^\circ$).

Две другие боковые грани ($ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$) — это параллелограммы с острым углом $30^\circ$. Это означает, что угол между боковым ребром и другой стороной основания равен $30^\circ$. Например, $\angle A_1AD = 30^\circ$.

Для нахождения высоты $H$ параллелепипеда (длины перпендикуляра, опущенного из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABCD$) можно рассмотреть пространственную систему координат. Поместим вершину $A$ в начало координат (0, 0, 0). Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, а ось $Oy$ вдоль ребра $AD$. Так как основание — прямоугольник, оси $Ox$ и $Oy$ перпендикулярны. Плоскость основания $ABCD$ совпадает с плоскостью $Oxy$. Ось $Oz$ будет перпендикулярна этой плоскости.

Высота $H$ будет равна аппликате (координате $z$) вершины $A_1$.

Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы, которые боковое ребро $AA_1$ образует с осями $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Из нашего анализа:

• $\alpha = \angle A_1AB = 90^\circ$
• $\beta = \angle A_1AD = 30^\circ$

Для направляющих косинусов вектора $\vec{AA_1}$ справедливо соотношение:

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$

Подставим известные значения углов:

$\cos^2(90^\circ) + \cos^2(30^\circ) + \cos^2\gamma = 1$

$0^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \cos^2\gamma = 1$

$\frac{3}{4} + \cos^2\gamma = 1$

$\cos^2\gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

Поскольку высота должна быть положительной, берем положительное значение косинуса (что соответствует острому углу $\gamma$):

$\cos\gamma = \frac{1}{2}$

Высота $H$ — это проекция бокового ребра $AA_1$ на ось $Oz$.

$H = |AA_1| \cdot \cos\gamma = 4 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 2 \text{ см}$

Найдем объем параллелепипеда

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем:

$V = S_{осн} \cdot H = 12 \text{ см}^2 \cdot 2 \text{ см} = 24 \text{ см}^3$

Ответ: $24 \text{ см}^3$.

253. Основанием пирамиды является треугольник $ABC$, $AB = 6\text{ см}$, $BC = 8\text{ см}$, $\angle ABC = 30^\circ$. Найдите объём пирамиды, если её высота равна $5\text{ см}$.

253. Основанием пирамиды является треугольник $ABC$, $AB = 6 \text{ см}$, $BC = 8 \text{ см}$, $\angle ABC = 30^\circ$. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 5 см.

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Из условия задачи известна высота пирамиды $h = 5$ см. Основанием пирамиды является треугольник ABC. Для нахождения объёма необходимо сначала вычислить площадь этого треугольника.

Площадь треугольника можно найти по формуле, используя длины двух сторон и синус угла между ними: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$.

Подставим в формулу известные значения: $AB = 6$ см, $BC = 8$ см и $\angle ABC = 30°$.
Значение синуса угла $30°$ равно $\frac{1}{2}$.
$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(30°) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = \frac{48}{4} = 12$ см².

Теперь, зная площадь основания ($S_{осн} = 12$ см²) и высоту ($h = 5$ см), можем рассчитать объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20$ см³.

Ответ: $20$ см³.

254. Объём правильной $n$-угольной пирамиды равен $V$. Чему равен объём правильной $n$-угольной пирамиды, высота которой в 8 раз меньше высоты, а сторона основания в 10 раз больше стороны основания данной пирамиды?

254. Объём правильной $n$-угольной пирамиды равен $V$. Чему равен объём правильной $n$-угольной пирамиды, высота которой в 8 раз меньше высоты, а сторона основания в 10 раз больше стороны основания данной пирамиды?

Объём правильной n-угольной пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Пусть $V_{1}$ — объём исходной пирамиды, $S_{1}$ — площадь её основания, $H_{1}$ — её высота, а $a_{1}$ — сторона её основания. По условию, объём этой пирамиды равен $V$. Таким образом, $V = \frac{1}{3} S_{1} \cdot H_{1}$.

Площадь любого правильного n-угольника пропорциональна квадрату длины его стороны. Это можно записать как $S = k \cdot a^2$, где $k$ — коэффициент пропорциональности, который зависит только от количества сторон $n$. Следовательно, для основания исходной пирамиды: $S_{1} = k \cdot a_{1}^2$.

Теперь рассмотрим новую пирамиду. Обозначим её объём, площадь основания, высоту и сторону основания как $V_{2}$, $S_{2}$, $H_{2}$ и $a_{2}$ соответственно.

Согласно условию задачи, высота новой пирамиды в 8 раз меньше высоты исходной: $H_{2} = \frac{H_{1}}{8}$.

Сторона основания новой пирамиды в 10 раз больше стороны основания исходной: $a_{2} = 10 \cdot a_{1}$.

Найдём площадь основания новой пирамиды, используя ту же зависимость от стороны: $S_{2} = k \cdot a_{2}^2 = k \cdot (10 \cdot a_{1})^2 = k \cdot 100 \cdot a_{1}^2 = 100 \cdot (k \cdot a_{1}^2) = 100 \cdot S_{1}$. Это означает, что площадь основания новой пирамиды в 100 раз больше площади основания исходной.

Теперь мы можем вычислить объём новой пирамиды $V_{2}$: $V_{2} = \frac{1}{3} S_{2} \cdot H_{2}$.

Подставим в эту формулу выражения для $S_{2}$ и $H_{2}$ через $S_{1}$ и $H_{1}$: $V_{2} = \frac{1}{3} (100 \cdot S_{1}) \cdot \left(\frac{H_{1}}{8}\right)$.

Сгруппируем числовые коэффициенты и оставшуюся часть выражения: $V_{2} = \frac{100}{8} \cdot \left(\frac{1}{3} S_{1} \cdot H_{1}\right)$.

Выражение в скобках представляет собой объём исходной пирамиды, то есть $V$. Таким образом, мы можем найти $V_2$: $V_{2} = \frac{100}{8} \cdot V = \frac{25}{2} \cdot V = 12.5 V$.

Ответ: $12.5V$.

255. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды, сторона основания которой равна 10 см, а высота пирамиды — 8 см.

255. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды, сторона основания которой равна 10 см, а высота пирамиды — 8 см.

Объём пирамиды находится по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды, а $h$ — её высота.

В основании данной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$

Из условия задачи нам известно, что сторона основания $a = 10$ см, а высота пирамиды $h = 8$ см.

1. Сначала вычислим площадь основания (правильного шестиугольника):

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 10^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 100 \sqrt{3}}{2} = \frac{300\sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3} \text{ см}^2$.

2. Теперь, зная площадь основания и высоту, найдём объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 150\sqrt{3} \cdot 8 = 50\sqrt{3} \cdot 8 = 400\sqrt{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $400\sqrt{3} \text{ см}^3$.

256. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, если сторона её основания равна 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

256. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, если сторона её основания равна 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3}S_{осн}h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

По условию задачи, сторона основания $a = 6$ см. Подставим это значение в формулу:

$S_{осн} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

2. Найдем высоту пирамиды.

Высота правильной пирамиды ($h$) опускается в центр ее основания, который также является центром описанной окружности. Боковое ребро, его проекция на плоскость основания и высота пирамиды образуют прямоугольный треугольник. Проекцией бокового ребра на плоскость основания является радиус ($R$) описанной около основания окружности. Угол между боковым ребром и плоскостью основания по условию равен $30^\circ$.

Сначала найдем радиус $R$ описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a=6$ см по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$:

$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором катетами являются высота пирамиды $h$ и радиус $R$, а гипотенузой — боковое ребро. В этом треугольнике тангенс угла $30^\circ$ равен отношению противолежащего катета ($h$) к прилежащему ($R$):

$\tan(30^\circ) = \frac{h}{R}$

Отсюда выразим высоту: $h = R \cdot \tan(30^\circ)$.

Зная, что $R = 2\sqrt{3}$ см и $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, находим высоту:

$h = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2$ см.

3. Вычислим объем пирамиды.

Подставим найденные значения площади основания $S_{осн} = 9\sqrt{3}$ см² и высоты $h = 2$ см в формулу объема:

$V = \frac{1}{3}S_{осн}h = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2 = 3\sqrt{3} \cdot 2 = 6\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $6\sqrt{3}$ см³.

257. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $45^\circ$.

257. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $45^\circ$.

Объём правильной пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота пирамиды.

1. В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. По условию, сторона основания $a = 4$ см. Найдём площадь основания:

$S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16$ см$^2$.

2. Высота пирамиды $H$ падает в центр основания $O$. Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это угол между апофемой (высотой боковой грани, проведённой из вершины пирамиды) и её проекцией на плоскость основания. Проекцией апофемы является отрезок, соединяющий центр основания $O$ с серединой соответствующей стороны основания. Длина этого отрезка (назовём его $r$) равна половине стороны основания:

$r = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Высота пирамиды $H$, отрезок $r$ и апофема образуют прямоугольный треугольник, в котором $H$ и $r$ являются катетами. Угол между апофемой и её проекцией $r$ по условию равен $45^\circ$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике можем найти высоту $H$:

$\tan(45^\circ) = \frac{H}{r}$

Так как $\tan(45^\circ) = 1$, то $H = r$.

$H = 2$ см.

3. Теперь, зная площадь основания и высоту, вычислим объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2 = \frac{32}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{32}{3}$ см$^3$.

258. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна $h$, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

258. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна $h$, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.

Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник. По условию, высота этого треугольника равна $h$. Пусть сторона треугольника равна $a$.

Формула высоты равностороннего треугольника через его сторону: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Выразим сторону $a$ через высоту $h$: $a = \frac{2h}{\sqrt{3}}$.

Площадь основания $S_{осн}$ можно найти по формуле $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$. Подставим найденное выражение для $a$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2h}{\sqrt{3}} \cdot h = \frac{h^2}{\sqrt{3}}$.

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$S_{осн} = \frac{h^2\sqrt{3}}{3}$.

2. Найдем высоту пирамиды.

Угол $\alpha$ между боковой гранью и плоскостью основания является двугранным углом. Его линейная мера — это угол между апофемой (высотой боковой грани, проведенной из вершины пирамиды) и её проекцией на плоскость основания. Проекцией апофемы является радиус вписанной в основание окружности, проведенный в точку касания.

Пусть $H$ — высота пирамиды, а $r$ — радиус вписанной в основание окружности. В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности связан с его высотой $h$ соотношением: $r = \frac{1}{3}h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой. В этом треугольнике $H$ и $r$ являются катетами, а угол, противолежащий катету $H$, равен $\alpha$.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{r}$.

Отсюда выразим высоту пирамиды $H$:

$H = r \cdot \tan(\alpha) = \frac{h}{3}\tan(\alpha)$.

3. Найдем объём пирамиды.

Подставим найденные значения $S_{осн}$ и $H$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{h^2\sqrt{3}}{3}\right) \cdot \left(\frac{h}{3}\tan(\alpha)\right) = \frac{h^3\sqrt{3}\tan(\alpha)}{27}$.

Ответ: $\frac{h^3\sqrt{3}\tan(\alpha)}{27}$.

259. В правильной четырёхугольной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани равно 3 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

259. В правильной четырёхугольной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани равно 3 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и центром основания $O$. Высота пирамиды $SO = H$. Так как пирамида правильная, в основании лежит квадрат $ABCD$.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это угол между апофемой (высотой боковой грани) и ее проекцией на основание. Проведем апофему $SM$ к стороне $CD$. Тогда $M$ — середина $CD$, и $OM \perp CD$. Угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью боковой грани $SCD$ и плоскостью основания $ABCD$. По условию, $\angle SMO = 60^\circ$.

Расстояние от центра основания $O$ до боковой грани $SCD$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $SCD$. Проведем в треугольнике $SOM$ высоту $OK$ к стороне $SM$. Так как $CD \perp OM$ и $CD \perp SM$, то $CD \perp$ плоскости $SOM$. Это означает, что плоскость $SOM$ перпендикулярна плоскости $SCD$. Следовательно, перпендикуляр $OK$ из точки $O$ к прямой $SM$ является также перпендикуляром к плоскости $SCD$. Таким образом, $OK$ — это искомое расстояние, и по условию $OK = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKM$ (угол $\angle OKM = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенузой является отрезок $OM$. Мы можем найти его длину, зная катет $OK$ и противолежащий ему угол $\angle OMK$ (который равен $60^\circ$):
$\sin(\angle SMO) = \frac{OK}{OM}$
$\sin(60^\circ) = \frac{3}{OM}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{OM}$
$OM = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Отрезок $OM$ в квадрате $ABCD$ равен половине его стороны $a$. То есть, $OM = \frac{a}{2}$.
$a = 2 \cdot OM = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.
Площадь основания пирамиды $S_{осн}$ равна:
$S_{осн} = a^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$ см².

Теперь найдем высоту пирамиды $H = SO$. В прямоугольном треугольнике $\triangle SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$):
$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{OM}$
$H = OM \cdot \tan(60^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$ см.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$:
$V = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 6 = 16 \cdot 6 = 96$ см³.

Ответ: 96 см³.

260. Площадь диагонального сечения правильной четырёхугольной пирамиды равна $S$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

260. Площадь диагонального сечения правильной четырёхугольной пирамиды равна S, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $α$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида. В ее основании лежит квадрат, а высота проецируется в центр основания (точку пересечения диагоналей).

Обозначим высоту пирамиды как $H$, а диагональ квадрата в основании как $d$.

Диагональное сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диагональ квадрата $d$, а высотой — высота пирамиды $H$. Площадь этого сечения $S$ равна: $S = \frac{1}{2} d \cdot H$

Боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Этот угол представляет собой угол между боковым ребром и его проекцией на основание, которой является половина диагонали ($\frac{d}{2}$). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды $H$, половиной диагонали $\frac{d}{2}$ (катеты) и боковым ребром (гипотенуза), справедливо соотношение: $\tan(\alpha) = \frac{H}{d/2} = \frac{2H}{d}$

Мы имеем систему из двух уравнений: 1) $2S = dH$ 2) $d = \frac{2H}{\tan(\alpha)}$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти $H$: $2S = \left(\frac{2H}{\tan(\alpha)}\right) \cdot H$ $2S = \frac{2H^2}{\tan(\alpha)}$ $S = \frac{H^2}{\tan(\alpha)}$ $H^2 = S \cdot \tan(\alpha)$ $H = \sqrt{S \tan(\alpha)}$

Теперь найдем диагональ $d$: $d = \frac{2H}{\tan(\alpha)} = \frac{2\sqrt{S \tan(\alpha)}}{\tan(\alpha)}$

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. Площадь основания (квадрата) можно найти через его диагональ: $S_{осн} = \frac{d^2}{2}$. $S_{осн} = \frac{1}{2} \left( \frac{2\sqrt{S \tan(\alpha)}}{\tan(\alpha)} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4S \tan(\alpha)}{\tan^2(\alpha)} = \frac{2S}{\tan(\alpha)}$

Теперь подставим найденные $S_{осн}$ и $H$ в формулу для объема: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{2S}{\tan(\alpha)} \cdot \sqrt{S \tan(\alpha)}$

Упростим выражение: $V = \frac{2S}{3\tan(\alpha)} \sqrt{S \tan(\alpha)} = \frac{2S\sqrt{S}\sqrt{\tan(\alpha)}}{3\tan(\alpha)} = \frac{2S\sqrt{S}}{3\sqrt{\tan(\alpha)}}$ Это выражение также можно записать как $V = \frac{2S\sqrt{S}}{3}\sqrt{\cot(\alpha)}$.

Ответ: $V = \frac{2S\sqrt{S}}{3\sqrt{\tan(\alpha)}}$

261. В правильной четырёхугольной пирамиде двугранный угол пирамиды при боковом ребре равен $120^{\circ}$, высота пирамиды равна 6 см. Найдите объём пирамиды.

261. В правильной четырёхугольной пирамиде двугранный угол пирамиды при боковом ребре равен $120^\circ$, высота пирамиды равна 6 см. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. $SO$ — высота пирамиды, $H = SO = 6$ см. Основание $ABCD$ — квадрат. Обозначим сторону основания через $a$. Объём пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} a^2 H$

Для нахождения объёма необходимо найти сторону основания $a$.

Двугранный угол при боковом ребре — это угол между двумя смежными боковыми гранями. Рассмотрим двугранный угол при ребре $SB$. Его линейным углом будет угол $\angle AKC$, где плоскость $AKC$ перпендикулярна ребру $SB$ (точка $K$ лежит на $SB$). По условию $\angle AKC = 120^\circ$.

Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники. Следовательно, высоты $AK$ и $CK$, проведённые к боковому ребру $SB$ в треугольниках $\triangle SAB$ и $\triangle SCB$ соответственно, равны ($AK=CK$). Таким образом, $\triangle AKC$ — равнобедренный.

Рассмотрим $\triangle AKC$. Сторона $AC$ — диагональ квадрата $ABCD$, поэтому $AC = a\sqrt{2}$. По теореме косинусов для $\triangle AKC$:

$AC^2 = AK^2 + CK^2 - 2 \cdot AK \cdot CK \cdot \cos(\angle AKC)$

$(a\sqrt{2})^2 = AK^2 + AK^2 - 2 \cdot AK^2 \cdot \cos(120^\circ)$

$2a^2 = 2AK^2 - 2AK^2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$2a^2 = 2AK^2 + AK^2$

$2a^2 = 3AK^2$

$AK^2 = \frac{2a^2}{3}$

Теперь найдём $AK$ другим способом. $AK$ — это высота в треугольнике $\triangle SAB$, опущенная на сторону $SB$. Найдём площадь $\triangle SAB$ двумя способами.Пусть $b$ — длина бокового ребра ($b = SB$), а $L$ — апофема (высота боковой грани, проведённая из вершины $S$).

Из прямоугольного треугольника $\triangle SOB$ (где $O$ — центр основания), найдём квадрат бокового ребра $b^2$:

$OB = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

$b^2 = SB^2 = SO^2 + OB^2 = H^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = H^2 + \frac{a^2}{2}$

Площадь $\triangle SAB$ можно выразить как $\frac{1}{2} SB \cdot AK$.Также площадь $\triangle SAB$ можно выразить через основание $AB=a$ и апофему $L=SM$ (где $M$ — середина $AB$).

Из прямоугольного треугольника $\triangle SOM$ найдём квадрат апофемы $L^2$:

$OM = \frac{a}{2}$

$L^2 = SM^2 = SO^2 + OM^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2 = H^2 + \frac{a^2}{4}$

Площадь $\triangle SAB = \frac{1}{2} AB \cdot L = \frac{1}{2} a \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{4}}$.

Приравнивая два выражения для площади, получаем:

$\frac{1}{2} b \cdot AK = \frac{1}{2} a \cdot L$

$AK = \frac{a \cdot L}{b}$

$AK^2 = \frac{a^2 \cdot L^2}{b^2} = \frac{a^2 (H^2 + \frac{a^2}{4})}{H^2 + \frac{a^2}{2}}$

Теперь приравняем два полученных выражения для $AK^2$:

$\frac{2a^2}{3} = \frac{a^2 (H^2 + \frac{a^2}{4})}{H^2 + \frac{a^2}{2}}$

Сократим на $a^2$ (так как $a \neq 0$):

$\frac{2}{3} = \frac{H^2 + \frac{a^2}{4}}{H^2 + \frac{a^2}{2}}$

$2(H^2 + \frac{a^2}{2}) = 3(H^2 + \frac{a^2}{4})$

$2H^2 + a^2 = 3H^2 + \frac{3a^2}{4}$

$a^2 - \frac{3a^2}{4} = 3H^2 - 2H^2$

$\frac{a^2}{4} = H^2$

$a^2 = 4H^2 \implies a = 2H$

Подставим известное значение высоты $H = 6$ см:

$a = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Теперь можем найти объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} a^2 H = \frac{1}{3} \cdot 12^2 \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 6 = 144 \cdot 2 = 288$ см$^3$.

Ответ: $288 \text{ см}^3$.