Номер 256, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

256. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, если сторона её основания равна 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

256. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, если сторона её основания равна 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3}S_{осн}h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

По условию задачи, сторона основания $a = 6$ см. Подставим это значение в формулу:

$S_{осн} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

2. Найдем высоту пирамиды.

Высота правильной пирамиды ($h$) опускается в центр ее основания, который также является центром описанной окружности. Боковое ребро, его проекция на плоскость основания и высота пирамиды образуют прямоугольный треугольник. Проекцией бокового ребра на плоскость основания является радиус ($R$) описанной около основания окружности. Угол между боковым ребром и плоскостью основания по условию равен $30^\circ$.

Сначала найдем радиус $R$ описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a=6$ см по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$:

$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором катетами являются высота пирамиды $h$ и радиус $R$, а гипотенузой — боковое ребро. В этом треугольнике тангенс угла $30^\circ$ равен отношению противолежащего катета ($h$) к прилежащему ($R$):

$\tan(30^\circ) = \frac{h}{R}$

Отсюда выразим высоту: $h = R \cdot \tan(30^\circ)$.

Зная, что $R = 2\sqrt{3}$ см и $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, находим высоту:

$h = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2$ см.

3. Вычислим объем пирамиды.

Подставим найденные значения площади основания $S_{осн} = 9\sqrt{3}$ см² и высоты $h = 2$ см в формулу объема:

$V = \frac{1}{3}S_{осн}h = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2 = 3\sqrt{3} \cdot 2 = 6\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $6\sqrt{3}$ см³.