Номер 263, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

263. Площадь боковой грани правильной четырёхугольной пирамиды равна $S$, а расстояние от центра основания до боковой грани равно $d$. Найдите объём пирамиды.

263. Площадь боковой грани правильной четырёхугольной пирамиды равна $S$, а расстояние от центра основания до боковой грани равно $d$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида. Обозначим сторону её квадратного основания как $a$, высоту пирамиды как $h$, а апофему (высоту боковой грани) как $l$.

Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} a^2 h$

Площадь боковой грани $S$, по условию задачи, равна:

$S = \frac{1}{2} a \cdot l$

Из этой формулы можно выразить произведение $a \cdot l$:

$al = 2S$

Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через её высоту и апофему. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $h$ и половина стороны основания $\frac{a}{2}$, а гипотенузой — апофема $l$.

Расстояние $d$ от центра основания (вершина прямого угла в нашем треугольнике) до боковой грани — это высота этого прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу $l$.

Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot \frac{a}{2} = \frac{ah}{4}$

2. Через гипотенузу и высоту, опущенную на неё: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot d$

Приравнивая эти два выражения для площади, получаем соотношение:

$\frac{ah}{4} = \frac{ld}{2}$

Умножим обе части на 4:

$ah = 2ld$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с переменными $a, h, l$:

1. $al = 2S$

2. $ah = 2ld$

Из первого уравнения выразим апофему $l = \frac{2S}{a}$ и подставим во второе уравнение:

$ah = 2 \left( \frac{2S}{a} \right) d$

$ah = \frac{4Sd}{a}$

Умножим обе части уравнения на $a$, чтобы избавиться от знаменателя:

$a^2 h = 4Sd$

Мы получили выражение для $a^2 h$, которое является частью формулы для объёма пирамиды. Подставим его в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} a^2 h = \frac{1}{3} (4Sd)$

$V = \frac{4Sd}{3}$

Ответ: $\frac{4Sd}{3}$