Номер 270, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

270. Основанием пирамиды является правильный треугольник. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, а их общее боковое ребро равно 6 см. Третья грань наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите объём пирамиды.

270. Основанием пирамиды является правильный треугольник. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, а их общее боковое ребро равно 6 см. Третья грань наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана пирамида SABC, основанием которой является правильный треугольник ABC.

По условию, две боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Пусть это будут грани SAB и SAC. Если две плоскости (SAB и SAC) перпендикулярны третьей плоскости (ABC), то линия их пересечения (ребро SA) также перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, ребро SA является высотой пирамиды H.

Из условия известно, что общее боковое ребро этих граней равно 6 см. Значит, высота пирамиды $H = SA = 6$ см.

Третья грань SBC наклонена к плоскости основания под углом $45°$. Угол между плоскостью грани SBC и плоскостью основания ABC – это двугранный угол при ребре BC. Величиной этого угла является линейный угол, образованный перпендикулярами, проведенными в каждой из плоскостей к их общей линии пересечения BC из одной точки.

Проведем в плоскости основания высоту (а также медиану) AM к стороне BC. Так как треугольник ABC правильный, то $AM \perp BC$.

SA – перпендикуляр к плоскости ABC, SM – наклонная, а AM – ее проекция на плоскость ABC. Так как проекция $AM \perp BC$, то по теореме о трех перпендикулярах и наклонная $SM \perp BC$.

Таким образом, угол $\angle SMA$ является линейным углом двугранного угла между гранью SBC и основанием ABC. По условию, $\angle SMA = 45°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SAM (угол $\angle SAM = 90°$, так как $SA \perp (ABC)$). В этом треугольнике:
Катет $SA = H = 6$ см.
$\angle SMA = 45°$.
Найдем второй катет AM:
$\tan(\angle SMA) = \frac{SA}{AM}$
$\tan(45°) = \frac{6}{AM}$
Поскольку $\tan(45°) = 1$, то $1 = \frac{6}{AM}$, откуда $AM = 6$ см.

AM является высотой правильного треугольника ABC. Пусть сторона этого треугольника равна $a$. Формула высоты правильного треугольника: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = 6$.
Найдем сторону $a$:
$a\sqrt{3} = 12$
$a = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем площадь основания $S_{ABC}$. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
$S_{ABC} = \frac{(4\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{48\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$ см².

Наконец, найдем объем пирамиды по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 6 = 4\sqrt{3} \cdot 6 = 24\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $24\sqrt{3}$ см³.