Номер 268, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

268. Основание пирамиды — ромб с острым углом $\beta$ и меньшей диагональю $d$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

268. Основание пирамиды — ромб с острым углом $\beta$ и меньшей диагональю $d$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания.

Основанием пирамиды является ромб с острым углом $\beta$ и меньшей диагональю $d$. Меньшая диагональ в ромбе лежит против острого угла. Пусть основание — ромб $ABCD$, $\angle BAD = \beta$ и $BD = d$. Диагонали ромба пересекаются в точке $O$, перпендикулярны друг другу и делятся точкой пересечения пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$. В нём $OB = \frac{BD}{2} = \frac{d}{2}$, а угол $\angle OAB = \frac{\angle BAD}{2} = \frac{\beta}{2}$.

Найдём половину второй диагонали $AO$:

$AO = OB \cdot \cot(\angle OAB) = \frac{d}{2} \cot(\frac{\beta}{2})$.

Тогда вторая диагональ ромба $AC = 2 \cdot AO = d \cot(\frac{\beta}{2})$.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot d \cot(\frac{\beta}{2}) \cdot d = \frac{d^2}{2} \cot(\frac{\beta}{2}) = \frac{d^2}{2 \tan(\frac{\beta}{2})}$.

2. Найдём высоту пирамиды.

По условию, все двугранные углы при рёбрах основания равны $\alpha$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Для ромба центром вписанной окружности является точка пересечения его диагоналей — точка $O$. Следовательно, высота пирамиды $H$ — это отрезок, соединяющий вершину пирамиды с точкой $O$.

Высоту $H$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, радиусом $r$ вписанной в основание окружности и апофемой боковой грани. В этом треугольнике катеты — $H$ и $r$, а угол, противолежащий катету $H$, равен $\alpha$. Таким образом, $H = r \cdot \tan(\alpha)$.

Найдём радиус $r$ вписанной в ромб окружности. Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба $h_{ромба}$. Высоту ромба можно найти через площадь и сторону. Найдём сторону ромба $a$ из треугольника $\triangle AOB$:

$a = AB = \frac{OB}{\sin(\angle OAB)} = \frac{d/2}{\sin(\beta/2)} = \frac{d}{2\sin(\beta/2)}$.

Площадь ромба также равна $S_{осн} = a \cdot h_{ромба}$. Отсюда высота ромба:

$h_{ромба} = \frac{S_{осн}}{a} = \frac{\frac{d^2}{2}\cot(\frac{\beta}{2})}{\frac{d}{2\sin(\frac{\beta}{2})}} = \frac{d^2 \cos(\frac{\beta}{2})}{2\sin(\frac{\beta}{2})} \cdot \frac{2\sin(\frac{\beta}{2})}{d} = d \cos(\frac{\beta}{2})$.

Тогда радиус вписанной окружности:

$r = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{d \cos(\frac{\beta}{2})}{2}$.

Теперь можем найти высоту пирамиды $H$:

$H = r \cdot \tan(\alpha) = \frac{d \cos(\frac{\beta}{2}) \tan(\alpha)}{2}$.

3. Вычислим объём пирамиды.

Подставим найденные значения $S_{осн}$ и $H$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{d^2}{2 \tan(\frac{\beta}{2})} \right) \cdot \left( \frac{d \cos(\frac{\beta}{2}) \tan(\alpha)}{2} \right) = \frac{d^3 \tan(\alpha) \cos(\frac{\beta}{2})}{12 \tan(\frac{\beta}{2})}$.

Ответ: $V = \frac{d^3 \tan(\alpha) \cos(\frac{\beta}{2})}{12 \tan(\frac{\beta}{2})}$.