Номер 265, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

265. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной 12 см и углом $30^\circ$ при основании. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

265. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной 12 см и углом $30^\circ$ при основании. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Сначала найдем характеристики треугольника, лежащего в основании. Основание — это равнобедренный треугольник с боковой стороной $a = 12$ см и углом при основании $\alpha = 30^\circ$. Угол при вершине, противолежащей основанию, равен $\gamma = 180^\circ - 2\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.

Площадь основания $S_{осн}$ можно вычислить по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(\gamma) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \sin(120^\circ) = 72 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3}$ см².

По условию, каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Это означает, что все боковые ребра равны, а вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника основания. Радиус этой окружности ($R$) является проекцией бокового ребра на плоскость основания.

Найдем радиус описанной окружности $R$, используя теорему синусов для треугольника в основании:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$

Отсюда $R = \frac{a}{2\sin \alpha} = \frac{12}{2\sin(30^\circ)} = \frac{12}{2 \cdot 0.5} = \frac{12}{1} = 12$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром и радиусом описанной окружности $R$. В этом треугольнике $R$ и $H$ являются катетами. Угол между боковым ребром и его проекцией $R$ (то есть угол с плоскостью основания) равен $60^\circ$.

Высоту пирамиды $H$ можно найти из тангенса этого угла:

$\tan(60^\circ) = \frac{H}{R}$

$H = R \cdot \tan(60^\circ) = 12 \cdot \sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 36\sqrt{3} \cdot 12\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \cdot 12\sqrt{3} = 144 \cdot 3 = 432$ см³.

Ответ: $432$ см³.