Номер 267, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

267. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 25 см, 29 см и 36 см, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^{\circ}$. Найдите объём пирамиды.

267. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 25 см, 29 см и 36 см, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Для решения задачи необходимо последовательно определить площадь основания и высоту пирамиды.

Сначала найдём площадь основания. Основанием является треугольник со сторонами $a = 25$ см, $b = 29$ см и $c = 36$ см. Для вычисления его площади воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Вычислим полупериметр:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{25 + 29 + 36}{2} = \frac{90}{2} = 45$ см.

Теперь, зная полупериметр, найдём площадь основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = \sqrt{45(45-25)(45-29)(45-36)} = \sqrt{45 \cdot 20 \cdot 16 \cdot 9} = \sqrt{900 \cdot 144} = 30 \cdot 12 = 360$ см².

Далее найдём высоту пирамиды $H$. По условию, все двугранные углы при рёбрах основания равны. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и апофема боковой грани образуют прямоугольный треугольник. Угол между радиусом $r$ и апофемой является линейным углом заданного двугранного угла и равен 45°. В этом прямоугольном треугольнике тангенс этого угла равен отношению высоты к радиусу: $\tan(45°) = \frac{H}{r}$.

Так как $\tan(45°) = 1$, отсюда следует, что высота пирамиды равна радиусу вписанной окружности: $H = r$.

Радиус вписанной в треугольник окружности найдём по формуле $r = \frac{S}{p}$:

$r = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{360}{45} = 8$ см.

Следовательно, высота пирамиды $H$ также равна 8 см.

Наконец, зная площадь основания и высоту, вычислим объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3}S_{осн}H = \frac{1}{3} \cdot 360 \cdot 8 = 120 \cdot 8 = 960$ см³.

Ответ: $960$ см³.