Номер 259, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

259. В правильной четырёхугольной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани равно 3 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

259. В правильной четырёхугольной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани равно 3 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и центром основания $O$. Высота пирамиды $SO = H$. Так как пирамида правильная, в основании лежит квадрат $ABCD$.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это угол между апофемой (высотой боковой грани) и ее проекцией на основание. Проведем апофему $SM$ к стороне $CD$. Тогда $M$ — середина $CD$, и $OM \perp CD$. Угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью боковой грани $SCD$ и плоскостью основания $ABCD$. По условию, $\angle SMO = 60^\circ$.

Расстояние от центра основания $O$ до боковой грани $SCD$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $SCD$. Проведем в треугольнике $SOM$ высоту $OK$ к стороне $SM$. Так как $CD \perp OM$ и $CD \perp SM$, то $CD \perp$ плоскости $SOM$. Это означает, что плоскость $SOM$ перпендикулярна плоскости $SCD$. Следовательно, перпендикуляр $OK$ из точки $O$ к прямой $SM$ является также перпендикуляром к плоскости $SCD$. Таким образом, $OK$ — это искомое расстояние, и по условию $OK = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKM$ (угол $\angle OKM = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенузой является отрезок $OM$. Мы можем найти его длину, зная катет $OK$ и противолежащий ему угол $\angle OMK$ (который равен $60^\circ$):
$\sin(\angle SMO) = \frac{OK}{OM}$
$\sin(60^\circ) = \frac{3}{OM}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{OM}$
$OM = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Отрезок $OM$ в квадрате $ABCD$ равен половине его стороны $a$. То есть, $OM = \frac{a}{2}$.
$a = 2 \cdot OM = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.
Площадь основания пирамиды $S_{осн}$ равна:
$S_{осн} = a^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$ см².

Теперь найдем высоту пирамиды $H = SO$. В прямоугольном треугольнике $\triangle SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$):
$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{OM}$
$H = OM \cdot \tan(60^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$ см.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$:
$V = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 6 = 16 \cdot 6 = 96$ см³.

Ответ: 96 см³.