Страница 97 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

196. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 6 см, 6 см и 7 см. Найдите радиус сферы, описанной около данного параллелепипеда.

196. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 6 см, 6 см и 7 см. Найдите радиус сферы, описанной около данного параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a, b, c$. Согласно условию задачи, имеем: $a = 6$ см, $b = 6$ см, $c = 7$ см.

Центр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, совпадает с центром параллелепипеда (точкой пересечения его диагоналей). Диаметр этой сферы равен пространственной диагонали $d$ параллелепипеда.

Квадрат пространственной диагонали прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле, которая является следствием теоремы Пифагора в пространстве:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим в эту формулу заданные значения измерений:

$d^2 = 6^2 + 6^2 + 7^2 = 36 + 36 + 49 = 121$

Теперь найдем длину диагонали $d$, извлекая квадратный корень:

$d = \sqrt{121} = 11$ см.

Радиус описанной сферы $R$ равен половине ее диаметра, то есть половине диагонали параллелепипеда:

$R = \frac{d}{2} = \frac{11}{2} = 5,5$ см.

Ответ: 5,5 см.

197. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 8 см, а радиус описанного около неё шара — 9 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

197. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 8 см, а радиус описанного около неё шара — 9 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть $a$ — сторона основания правильной четырёхугольной призмы, $h$ — её высота, а $R$ — радиус описанного около неё шара. По условию задачи дано: $a = 8$ см, $R = 9$ см.

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$) вычисляется как произведение периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$): $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Так как призма правильная четырёхугольная, её основанием является квадрат. Периметр основания равен: $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 8 = 32$ см.

Для нахождения высоты $h$ воспользуемся свойством описанного шара. Центр описанного шара совпадает с центром призмы, то есть точкой, равноудалённой от всех вершин призмы. Расстояние от центра шара до любой вершины призмы равно радиусу $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), половиной высоты призмы $\frac{h}{2}$ (катет) и половиной диагонали основания призмы $\frac{d}{2}$ (второй катет). По теореме Пифагора: $R^2 = (\frac{h}{2})^2 + (\frac{d}{2})^2$

Сначала найдём диагональ $d$ квадратного основания со стороной $a = 8$ см: $d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Тогда половина диагонали равна: $\frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь подставим известные значения в уравнение теоремы Пифагора и найдём высоту $h$: $9^2 = (\frac{h}{2})^2 + (4\sqrt{2})^2$ $81 = (\frac{h}{2})^2 + 16 \cdot 2$ $81 = (\frac{h}{2})^2 + 32$ $(\frac{h}{2})^2 = 81 - 32$ $(\frac{h}{2})^2 = 49$ $\frac{h}{2} = \sqrt{49} = 7$ см.

Следовательно, высота призмы равна: $h = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 32 \cdot 14 = 448$ см$^2$.

Ответ: $448$ см$^2$.

198. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с плоскостью одной из боковых граней угол $\alpha$, а с плоскостью основания — угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если радиус описанного около него шара равен $R$.

198. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с плоскостью одной из боковых граней угол $ \alpha $, а с плоскостью основания — угол $ \beta $. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если радиус описанного около него шара равен $ R $.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a, b, c$. Площадь его боковой поверхности вычисляется по формуле $S_{бок} = 2(a+b)c$.

Диагональ $d$ прямоугольного параллелепипеда связана с радиусом $R$ описанной около него сферы соотношением $d = 2R$, так как диагональ параллелепипеда является диаметром описанной сферы. Квадрат диагонали равен сумме квадратов его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Следовательно, $a^2 + b^2 + c^2 = (2R)^2 = 4R^2$.

Угол между наклонной (диагональю $d$) и плоскостью (основанием) — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Проекцией диагонали $d$ на плоскость основания является диагональ основания. Вместе с высотой параллелепипеда $c$ они образуют прямоугольный треугольник, где $d$ — гипотенуза, а $c$ — катет, противолежащий углу $\beta$.

Из этого треугольника получаем: $\sin\beta = \frac{c}{d}$, откуда $c = d \sin\beta = 2R \sin\beta$.

Аналогично, угол между диагональю $d$ и плоскостью одной из боковых граней — это угол $\alpha$ между диагональю $d$ и её проекцией на эту плоскость. Ребро, перпендикулярное этой боковой грани (пусть это будет ребро $a$), диагональ $d$ и её проекция образуют прямоугольный треугольник, где $d$ — гипотенуза, а $a$ — катет, противолежащий углу $\alpha$.

Отсюда: $\sin\alpha = \frac{a}{d}$, откуда $a = d \sin\alpha = 2R \sin\alpha$.

Теперь найдем третье измерение $b$ из соотношения $a^2 + b^2 + c^2 = d^2$:

$(2R \sin\alpha)^2 + b^2 + (2R \sin\beta)^2 = (2R)^2$

$4R^2 \sin^2\alpha + b^2 + 4R^2 \sin^2\beta = 4R^2$

Разделив на $4R^2$, получим:

$\sin^2\alpha + \frac{b^2}{4R^2} + \sin^2\beta = 1$

$\frac{b^2}{4R^2} = 1 - \sin^2\alpha - \sin^2\beta$

Используя основное тригонометрическое тождество $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$, получаем:

$\frac{b^2}{4R^2} = \cos^2\alpha - \sin^2\beta$

$b^2 = 4R^2(\cos^2\alpha - \sin^2\beta)$

$b = 2R \sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}$

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2(a+b)c = 2(2R \sin\alpha + 2R \sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}) \cdot (2R \sin\beta)$

Вынося общие множители, получаем:

$S_{бок} = 2 \cdot 2R (\sin\alpha + \sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}) \cdot 2R \sin\beta$

$S_{бок} = 8R^2 \sin\beta (\sin\alpha + \sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta})$

Ответ: $8R^2 \sin\beta (\sin\alpha + \sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta})$.

199. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ при основании. Высота призмы равна $H$. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

199. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ при основании. Высота призмы равна $H$. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

Пусть дана прямая призма, в основании которой лежит равнобедренный треугольник. Обозначим вершины нижнего основания как $A$, $B$, $C$. По условию задачи, боковые стороны треугольника равны $a$ (пусть это будут $AB$ и $AC$), а углы при основании $BC$ равны $\alpha$ (то есть, $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$). Высота призмы равна $H$.

Центр шара, описанного около прямой призмы, находится на середине высоты, соединяющей центры окружностей, описанных около оснований призмы. Радиус такого шара $R$ можно найти по формуле, связывающей его с радиусом окружности, описанной около основания ($R_{осн}$), и высотой призмы ($H$):

$$R^2 = R_{осн}^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$$

Сначала найдем радиус окружности, описанной около треугольника-основания. Воспользуемся следствием из теоремы синусов, согласно которому радиус описанной окружности равен отношению длины стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла. Для стороны $AC=a$ противолежащим является угол $\angle ABC = \alpha$.

$$R_{осн} = \frac{AC}{2 \sin(\angle ABC)} = \frac{a}{2 \sin(\alpha)}$$

Теперь подставим найденное значение $R_{осн}$ в формулу для радиуса описанного шара:

$$R^2 = \left(\frac{a}{2 \sin(\alpha)}\right)^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$$

Выполним возведение в квадрат:

$$R^2 = \frac{a^2}{4 \sin^2(\alpha)} + \frac{H^2}{4}$$

Приведем дроби к общему знаменателю $4 \sin^2(\alpha)$:

$$R^2 = \frac{a^2 + H^2 \sin^2(\alpha)}{4 \sin^2(\alpha)}$$

Наконец, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $R$. Поскольку $\alpha$ — это угол при основании равнобедренного треугольника, $0 < \alpha < 90^\circ$, и, следовательно, $\sin(\alpha) > 0$.

$$R = \sqrt{\frac{a^2 + H^2 \sin^2(\alpha)}{4 \sin^2(\alpha)}} = \frac{\sqrt{a^2 + H^2 \sin^2(\alpha)}}{2 \sin(\alpha)}$$

Ответ: $R = \frac{\sqrt{a^2 + H^2 \sin^2(\alpha)}}{2 \sin(\alpha)}$

200. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $4\text{ см}$, а угол при вершине диагонального сечения — $120^\circ$. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

200. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а угол при вершине диагонального сечения — $120^\circ$. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида `SABCD`, где `ABCD` — квадратное основание, а `S` — вершина.

1. Нахождение диагонали основания.

Основанием пирамиды является квадрат `ABCD` со стороной $a = 4$ см. Диагональ квадрата `AC` можно найти по теореме Пифагора или по формуле $d = a\sqrt{2}$.

$AC = 4\sqrt{2}$ см.

2. Анализ диагонального сечения.

Диагональное сечение пирамиды — это треугольник `SAC`. Поскольку пирамида правильная, ее боковые ребра равны, то есть $SA = SC$. Следовательно, треугольник `SAC` является равнобедренным.

По условию, угол при вершине этого сечения равен $120^\circ$, то есть $\angle ASC = 120^\circ$.

3. Нахождение радиуса описанной сферы.

Сфера, описанная около пирамиды, проходит через все ее вершины. Это означает, что вершины треугольника `SAC` (точки `S`, `A`, `C`) лежат на этой сфере. Следовательно, радиус сферы, описанной около пирамиды, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника `SAC`.

Радиус `R` описанной окружности для любого треугольника можно найти по формуле, которая является следствием теоремы синусов: $R = \frac{\text{сторона}}{2 \cdot \sin(\text{противолежащего угла})}$.

Применим эту формулу к треугольнику `SAC`, используя сторону `AC` и противолежащий ей угол $\angle ASC$.

$R = \frac{AC}{2\sin(\angle ASC)}$

Подставим известные значения:

$R = \frac{4\sqrt{2}}{2\sin(120^\circ)}$

Значение синуса $120^\circ$ равно значению синуса $60^\circ$:

$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим это значение в формулу для радиуса:

$R = \frac{4\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$R = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{4\sqrt{6}}{3}$ см.

201. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 9 см, а радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, — 6 см. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

201. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 9 см, а радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, — 6 см. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

Для нахождения радиуса описанного шара необходимо последовательно определить параметры пирамиды: сторону и диагональ основания, а затем высоту пирамиды.

1. Нахождение параметров основания пирамиды
В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Радиус вписанной в квадрат окружности, обозначим его $r$, связан с его стороной $a$ формулой $r = \frac{a}{2}$.По условию задачи $r = 6$ см, следовательно, мы можем найти сторону основания $a$:$a = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.Зная сторону квадрата, найдем его диагональ $d$:$d = a\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ см.

2. Нахождение высоты пирамиды
Высота правильной пирамиды ($H$) проецируется в центр ее основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$, боковым ребром $l$ (гипотенуза) и половиной диагонали основания $\frac{d}{2}$ (катет).Половина диагонали равна: $\frac{d}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.Боковое ребро по условию $l = 9$ см.По теореме Пифагора найдем высоту $H$:$H^2 = l^2 - (\frac{d}{2})^2$$H^2 = 9^2 - (6\sqrt{2})^2 = 81 - (36 \cdot 2) = 81 - 72 = 9$$H = \sqrt{9} = 3$ см.

3. Нахождение радиуса описанного шара
Радиус шара ($R$), описанного около правильной пирамиды, можно вычислить по формуле, связывающей его с боковым ребром и высотой пирамиды:$R = \frac{l^2}{2H}$Подставим известные значения $l = 9$ см и $H = 3$ см в формулу:$R = \frac{9^2}{2 \cdot 3} = \frac{81}{6} = \frac{27}{2} = 13,5$ см.

Ответ: 13,5 см.

202. Боковое ребро правильной пирамиды равно $b$ и образует с высотой пирамиды угол $\gamma$. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

202. Боковое ребро правильной пирамиды равно $b$ и образует с высотой пирамиды угол $\gamma$. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

Пусть дана правильная пирамида $S A_1 A_2 ... A_n$, где $S$ — вершина, а $A_1 A_2 ... A_n$ — правильный многоугольник в основании. Пусть $H$ — центр основания, тогда $SH$ — высота пирамиды. По условию, боковое ребро равно $b$, например, $SA_1 = b$. Угол между боковым ребром и высотой пирамиды равен $\gamma$, то есть $\angle A_1SH = \gamma$.

Центр $O$ сферы, описанной около правильной пирамиды, всегда лежит на ее высоте (или на продолжении высоты). Радиус этой сферы $R$ — это расстояние от центра $O$ до любой вершины пирамиды. Следовательно, расстояние от центра до вершины $S$ равно радиусу, и расстояние до любой вершины основания, например $A_1$, также равно радиусу: $OS = R$ и $OA_1 = R$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$, центр основания $H$ и одну из вершин основания $A_1$. Это сечение представляет собой треугольник $\triangle A_1SH$, который является прямоугольным, так как высота $SH$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и отрезку $A_1H$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle A_1SH$:

• гипотенуза $SA_1 = b$ (боковое ребро);
• катет $A_1H$ — радиус окружности, описанной около основания пирамиды;
• катет $SH$ — высота пирамиды;
• $\angle A_1SH = \gamma$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle A_1SH$ находим длины катетов:
$A_1H = SA_1 \cdot \sin(\angle A_1SH) = b \sin(\gamma)$
$SH = SA_1 \cdot \cos(\angle A_1SH) = b \cos(\gamma)$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OA_1H$. Он также является прямоугольным, поскольку $OH$ (часть высоты) перпендикулярен $A_1H$ (лежит в плоскости основания).

• гипотенуза $OA_1 = R$ (радиус описанной сферы);
• катет $A_1H = b \sin(\gamma)$;
• катет $OH$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $SH$, его длина равна разности длин отрезков $SH$ и $SO$: $OH = SH - SO = b \cos(\gamma) - R$. (Если бы центр $O$ лежал вне отрезка $SH$, мы бы взяли модуль разности, но результат был бы тем же).

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle OA_1H$:
$OA_1^2 = A_1H^2 + OH^2$

Подставим известные выражения в это уравнение:
$R^2 = (b \sin(\gamma))^2 + (b \cos(\gamma) - R)^2$

Раскроем скобки и преобразуем полученное уравнение:
$R^2 = b^2 \sin^2(\gamma) + (b^2 \cos^2(\gamma) - 2 b R \cos(\gamma) + R^2)$
$R^2 = b^2 \sin^2(\gamma) + b^2 \cos^2(\gamma) - 2 b R \cos(\gamma) + R^2$

Сгруппируем члены с $b^2$ и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$:
$R^2 = b^2 (\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma)) - 2 b R \cos(\gamma) + R^2$
$R^2 = b^2 - 2 b R \cos(\gamma) + R^2$

Сократим $R^2$ в обеих частях уравнения:
$0 = b^2 - 2 b R \cos(\gamma)$

Отсюда выразим искомый радиус $R$:
$2 b R \cos(\gamma) = b^2$
$R = \frac{b^2}{2 b \cos(\gamma)} = \frac{b}{2 \cos(\gamma)}$

Ответ: $R = \frac{b}{2 \cos(\gamma)}$

203. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $60^\circ$. Радиус сферы, описанной около пирамиды, равен 12 см. Найдите сторону основания пирамиды.

203. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $60^\circ$. Радиус сферы, описанной около пирамиды, равен 12 см. Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S. Основание ABC – равносторонний треугольник, а высота SO пирамиды проецируется в центр основания O, который также является центром описанной и вписанной окружностей основания.

Обозначим:

• $a$ – сторона основания (AB = BC = CA).
• $l$ – длина бокового ребра (SA = SB = SC).
• $h$ – высота пирамиды (SO).
• $R$ – радиус сферы, описанной около пирамиды ($R = 12$ см).
• $\alpha$ – угол наклона бокового ребра к плоскости основания ($\alpha = 60^\circ$).

Решение

Угол наклона бокового ребра (например, SA) к плоскости основания (ABC) – это угол между ребром SA и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра SA на плоскость основания является отрезок AO, где O – центр основания. Следовательно, искомый угол – это $\angle SAO = 60^\circ$.

Треугольник $\triangle SAO$ является прямоугольным, так как SO – высота пирамиды ($\angle SOA = 90^\circ$). В этом треугольнике:

• $AO$ – это радиус окружности, описанной около основания ABC. Обозначим его $R_{осн}$.
• $SO = h$ – высота пирамиды.
• $SA = l$ – боковое ребро.

Из $\triangle SAO$ имеем соотношения:

$R_{осн} = AO = l \cdot \cos(\angle SAO) = l \cdot \cos(60^\circ) = \frac{l}{2}$

$h = SO = l \cdot \sin(\angle SAO) = l \cdot \sin(60^\circ) = \frac{l\sqrt{3}}{2}$

Радиус $R$ сферы, описанной около правильной пирамиды, можно найти по формуле:

$R = \frac{l^2}{2h}$

Подставим в эту формулу выражение для $h$ через $l$:

$R = \frac{l^2}{2 \cdot \frac{l\sqrt{3}}{2}} = \frac{l^2}{l\sqrt{3}} = \frac{l}{\sqrt{3}}$

Мы знаем, что радиус описанной сферы $R = 12$ см. Найдем длину бокового ребра $l$:

$12 = \frac{l}{\sqrt{3}} \implies l = 12\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем радиус окружности, описанной около основания ($R_{осн}$):

$R_{осн} = \frac{l}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R_{осн}$ связан со стороной формулой:

$R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Отсюда выразим сторону основания $a$:

$a = R_{осн} \cdot \sqrt{3}$

Подставим найденное значение $R_{осн}$:

$a = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18$ см.

Ответ: 18 см.

204. Основанием пирамиды является прямоугольник, одна из сторон которого равна 9 см и образует с его диагональю угол $30^\circ$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите расстояние от центра шара, описанного около данной пирамиды, до плоскости её основания.

204. Основанием пирамиды является прямоугольник, одна из сторон которого равна 9 см и образует с его диагональю угол $30^\circ$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите расстояние от центра шара, описанного около данной пирамиды, до плоскости её основания.

Пусть $SABCD$ – данная пирамида, основанием которой является прямоугольник $ABCD$. Пусть вершина пирамиды – $S$. По условию, одна из сторон прямоугольника равна 9 см и образует с его диагональю угол $30^{\circ}$. Пусть $AB = 9$ см и $\angle BAC = 30^{\circ}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Катет $AB = 9$ см, угол $\angle BAC = 30^{\circ}$. Найдем длину гипотенузы $AC$, которая является диагональю прямоугольника: $AC = \frac{AB}{\cos(30^{\circ})} = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.

По условию, каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Это означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника таким центром является точка пересечения его диагоналей, обозначим ее $O$. Таким образом, $SO$ – высота пирамиды, и она перпендикулярна плоскости основания $ABCD$.

Расстояние от точки $O$ до любой вершины основания равно половине диагонали: $OA = OB = OC = OD = \frac{AC}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Угол между боковым ребром $SA$ и плоскостью основания – это угол между наклонной $SA$ и ее проекцией $OA$, то есть $\angle SAO = 60^{\circ}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Найдем высоту пирамиды $H=SO$: $H = SO = OA \cdot \tan(60^{\circ}) = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9$ см.

Центр шара, описанного около пирамиды ($O_{сф}$), должен быть равноудален от всех вершин пирамиды. Следовательно, он должен лежать на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через центр описанной около основания окружности, то есть на прямой $SO$.

Пусть искомое расстояние от центра шара до плоскости основания равно $d = O_{сф}O$. Пусть $R$ – радиус описанного шара. Тогда $O_{сф}A = O_{сф}S = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_{сф}OA$. По теореме Пифагора: $R^2 = O_{сф}A^2 = OA^2 + O_{сф}O^2 = (3\sqrt{3})^2 + d^2 = 27 + d^2$.

Расстояние от центра шара до вершины пирамиды $S$ равно $O_{сф}S = SO - O_{сф}O = H - d = 9 - d$. Поскольку $O_{сф}S = R$, мы можем приравнять выражения для $R^2$: $(9 - d)^2 = 27 + d^2$ $81 - 18d + d^2 = 27 + d^2$ $81 - 27 = 18d$ $54 = 18d$ $d = \frac{54}{18} = 3$ см.

Ответ: 3 см.