Страница 90 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде длиной 6 см. Эта хорда стягивает дугу, градусная мера которой равна $120^\circ$. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания равен $60^\circ$. Найдите:

1) площадь образовавшегося сечения;

2) площадь боковой поверхности конуса.

137. Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде длиной 6 см. Эта хорда стягивает дугу, градусная мера которой равна $120^\circ$. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания равен $60^\circ$. Найдите:

1) площадь образовавшегося сечения;

2) площадь боковой поверхности конуса.

Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания. Плоскость проходит через две образующие $SA$ и $SB$, пересекая основание по хорде $AB$. Образовавшееся сечение — это равнобедренный треугольник $SAB$ с основанием $AB = 6$ см и боковыми сторонами $SA = SB = L$, где $L$ — длина образующей конуса.

Рассмотрим основание конуса. Хорда $AB$ стягивает дугу в $120°$, значит, центральный угол $\angle AOB = 120°$. Треугольник $AOB$ — равнобедренный ($OA = OB = R$, где $R$ — радиус основания). Проведем высоту $OM$ в треугольнике $AOB$ из центра $O$ к хорде $AB$. $OM$ является также медианой и биссектрисой.

Следовательно, $M$ — середина $AB$, $AM = MB = 6 / 2 = 3$ см.
$\angle AOM = \angle BOM = 120° / 2 = 60°$.

Из прямоугольного треугольника $AOM$ найдем радиус основания $R$ и длину отрезка $OM$:
$R = OA = \frac{AM}{\sin(60°)} = \frac{3}{\sqrt{3}/2} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.
$OM = \frac{AM}{\tan(60°)} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Угол между плоскостью сечения ($SAB$) и плоскостью основания — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Так как $OM \perp AB$ (как высота в равнобедренном $\triangle AOB$) и $SM \perp AB$ (так как $SM$ — высота в равнобедренном $\triangle SAB$), то искомый угол — это $\angle SMO$, и по условию он равен $60°$.

Рассмотрим треугольник $SOM$. Он прямоугольный, так как $SO$ (высота конуса) перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, т.е. $SO \perp OM$.

Площадь сечения (треугольника $SAB$) равна $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM$.
Найдем высоту $SM$ из прямоугольного треугольника $SOM$.
$\cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM} \implies \cos(60°) = \frac{\sqrt{3}}{SM}$.
$\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{SM} \implies SM = 2\sqrt{3}$ см.
Теперь вычислим площадь сечения:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см².

Ответ: $6\sqrt{3}$ см².

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания, а $L$ — длина образующей.
Радиус основания мы уже нашли: $R = 2\sqrt{3}$ см.
Длину образующей $L = SA$ найдем из прямоугольного треугольника $SMA$ по теореме Пифагора:
$L^2 = SA^2 = SM^2 + AM^2$.
$L^2 = (2\sqrt{3})^2 + 3^2 = 4 \cdot 3 + 9 = 12 + 9 = 21$.
$L = \sqrt{21}$ см.
Теперь вычислим площадь боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi \cdot (2\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{21}) = 2\pi\sqrt{3 \cdot 21} = 2\pi\sqrt{63} = 2\pi\sqrt{9 \cdot 7} = 2\pi \cdot 3\sqrt{7} = 6\pi\sqrt{7}$ см².

Ответ: $6\pi\sqrt{7}$ см².

138. В основании конуса проведена хорда $BC$. Точка $D$ — вершина конуса, отрезок $DO$ — его высота, $DO = 3\sqrt{10}$ см. Расстояние от точки $O$ до плоскости $BDC$ равно 3 см. Найдите расстояние от точки $O$ до хорды $BC$.

138. В основании конуса проведена хорда $BC$. Точка $D$ — вершина конуса, отрезок $DO$ — его высота, $DO = 3\sqrt{10}$ см. Расстояние от точки $O$ до плоскости $BDC$ равно 3 см. Найдите расстояние от точки $O$ до хорды $BC$.

Пусть O — центр основания конуса, а D — его вершина. DO — высота конуса, $DO = 3\sqrt{10}$ см.
BC — хорда в основании. Расстояние от точки O до хорды BC — это длина перпендикуляра, опущенного из O на BC. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой M. Таким образом, OM — искомое расстояние, и $OM \perp BC$.

Поскольку DO — высота конуса, она перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, $DO$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и OM. Это означает, что треугольник $\triangle DOM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине O.

Прямая BC перпендикулярна OM (по построению) и перпендикулярна DO (так как DO перпендикулярна всей плоскости основания). Поскольку прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым OM и DO, она перпендикулярна плоскости, в которой они лежат, то есть плоскости DOM.

Расстояние от точки O до плоскости BDC — это длина перпендикуляра OH, опущенного из точки O на эту плоскость. Так как плоскость BDC проходит через прямую BC, которая перпендикулярна плоскости DOM, то плоскости BDC и DOM взаимно перпендикулярны. Их линия пересечения — прямая DM.

Перпендикуляр OH из точки O к плоскости BDC должен лежать в плоскости DOM и быть перпендикулярным линии пересечения DM. Следовательно, OH является высотой в прямоугольном треугольнике $\triangle DOM$, проведенной к гипотенузе DM.

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник $\triangle DOM$, в котором известны катет $DO = 3\sqrt{10}$ см и высота к гипотенузе $OH = 3$ см. Нам нужно найти второй катет OM.

В прямоугольном треугольнике существует соотношение между катетами ($a, b$) и высотой ($h$), проведенной к гипотенузе:$ \frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} $

Применим эту формулу к треугольнику $\triangle DOM$:$ \frac{1}{OH^2} = \frac{1}{DO^2} + \frac{1}{OM^2} $

Подставим известные значения:$ \frac{1}{3^2} = \frac{1}{(3\sqrt{10})^2} + \frac{1}{OM^2} $$ \frac{1}{9} = \frac{1}{9 \cdot 10} + \frac{1}{OM^2} $$ \frac{1}{9} = \frac{1}{90} + \frac{1}{OM^2} $

Теперь найдем $\frac{1}{OM^2}$:$ \frac{1}{OM^2} = \frac{1}{9} - \frac{1}{90} $Приведем дроби к общему знаменателю:$ \frac{1}{OM^2} = \frac{10}{90} - \frac{1}{90} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10} $

Отсюда следует, что:$ OM^2 = 10 $$ OM = \sqrt{10} $ см.

Ответ: $\sqrt{10}$ см.

139. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $\beta$, проведено сечение. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса равен $\varphi$. Найдите площадь сечения, если площадь боковой поверхности конуса равна $S$.

139. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $ \beta $, проведено сечение. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса равен $ \varphi $. Найдите площадь сечения, если площадь боковой поверхности конуса равна $ S $.

Пусть $L$ - длина образующей конуса, а $R$ - радиус его основания.

Сечение представляет собой равнобедренный треугольник, образованный двумя образующими длиной $L$ и хордой в основании. Угол между образующими равен $\beta$. Площадь этого треугольника (сечения) $S_{сеч}$ можно найти по формуле:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} L \cdot L \sin \beta = \frac{1}{2} L^2 \sin \beta$

Площадь боковой поверхности конуса $S$ задана и вычисляется по формуле:
$S = \pi R L$

Наша задача - выразить $L^2$ через известные величины $S$, $\beta$ и $\phi$.

Пусть $V$ - вершина конуса, а $A$ и $B$ - точки на окружности основания, через которые проходят образующие. Сечение - это треугольник $\triangle VAB$. Пусть $M$ - середина хорды $AB$. Тогда $VM$ - высота, медиана и биссектриса в равнобедренном $\triangle VAB$, а $OM$ - высота и медиана в равнобедренном $\triangle OAB$ (где $O$ - центр основания).

Угол между плоскостью сечения ($VAB$) и плоскостью основания - это двугранный угол, который измеряется линейным углом $\angle VMO = \phi$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle VMA$. Угол $\angle AVM = \frac{\beta}{2}$.
Отсюда:
$AM = L \sin(\frac{\beta}{2})$
$VM = L \cos(\frac{\beta}{2})$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle VOM$.
$OM = VM \cos \phi = L \cos(\frac{\beta}{2}) \cos \phi$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$ в плоскости основания. По теореме Пифагора:
$R^2 = OA^2 = OM^2 + AM^2$
Подставим найденные выражения для $OM$ и $AM$:
$R^2 = (L \cos(\frac{\beta}{2}) \cos \phi)^2 + (L \sin(\frac{\beta}{2}))^2 = L^2 \cos^2(\frac{\beta}{2})\cos^2\phi + L^2 \sin^2(\frac{\beta}{2})$
$R^2 = L^2 (\cos^2(\frac{\beta}{2})\cos^2\phi + \sin^2(\frac{\beta}{2}))$

Теперь воспользуемся формулой для площади боковой поверхности $S = \pi R L$. Возведем ее в квадрат:
$S^2 = \pi^2 R^2 L^2$
Подставим в это уравнение выражение для $R^2$:
$S^2 = \pi^2 L^2 \cdot [L^2 (\cos^2(\frac{\beta}{2})\cos^2\phi + \sin^2(\frac{\beta}{2}))]$
$S^2 = \pi^2 L^4 (\cos^2(\frac{\beta}{2})\cos^2\phi + \sin^2(\frac{\beta}{2}))$

Выразим отсюда $L^2$:
$L^4 = \frac{S^2}{\pi^2 (\cos^2(\frac{\beta}{2})\cos^2\phi + \sin^2(\frac{\beta}{2}))}$
$L^2 = \sqrt{\frac{S^2}{\pi^2 (\cos^2(\frac{\beta}{2})\cos^2\phi + \sin^2(\frac{\beta}{2}))}} = \frac{S}{\pi \sqrt{\cos^2(\frac{\beta}{2})\cos^2\phi + \sin^2(\frac{\beta}{2})}}$

Наконец, подставим найденное выражение для $L^2$ в формулу площади сечения:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} L^2 \sin \beta = \frac{1}{2} \cdot \frac{S \sin \beta}{\pi \sqrt{\cos^2(\frac{\beta}{2})\cos^2\phi + \sin^2(\frac{\beta}{2})}}$

Ответ: $ \frac{S \sin \beta}{2\pi \sqrt{\cos^2(\frac{\beta}{2})\cos^2\phi + \sin^2(\frac{\beta}{2})}} $

140. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, центральный угол которого равен $150^\circ$, а радиус — 12 см. Найдите радиус основания конуса.

140. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, центральный угол которого равен 150°, а радиус — 12 см. Найдите радиус основания конуса.

Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса ($L$), а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса ($C$).

По условию задачи, радиус сектора (который является образующей конуса) $L = 12$ см, а центральный угол сектора $\alpha = 150°$.

Длина дуги сектора ($C_{дуги}$) вычисляется по формуле:
$C_{дуги} = \frac{2\pi L \alpha}{360°}$
Подставим известные значения:
$C_{дуги} = \frac{2\pi \cdot 12 \cdot 150}{360} = \frac{24\pi \cdot 150}{360} = 24\pi \cdot \frac{15}{36} = 24\pi \cdot \frac{5}{12} = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$ см.

Длина дуги сектора развёртки равна длине окружности основания конуса. Длина окружности основания ($C_{основания}$) вычисляется по формуле $C_{основания} = 2\pi r$, где $r$ – искомый радиус основания конуса.
Приравняем эти два значения:
$C_{дуги} = C_{основания}$
$10\pi = 2\pi r$

Чтобы найти радиус основания $r$, разделим обе части уравнения на $2\pi$:
$r = \frac{10\pi}{2\pi} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

141. Развёртка боковой поверхности конуса — сектор, центральный угол которого равен 135°. Найдите площадь полной поверхности конуса, если его высота равна $2\sqrt{55}$ см.

141. Развёртка боковой поверхности конуса — сектор, центральный угол которого равен $135^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, если его высота равна $2\sqrt{55}$ см.

Для нахождения площади полной поверхности конуса воспользуемся формулой:$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r+l)$,где $r$ – радиус основания конуса, $l$ – его образующая.

Высота конуса $h$, радиус основания $r$ и образующая $l$ связаны соотношением по теореме Пифагора:$l^2 = r^2 + h^2$

Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$, а длина дуги сектора $C_{дуги}$ равна длине окружности основания конуса $C_{осн}$.$C_{осн} = 2\pi r$

Длина дуги сектора с центральным углом $\alpha = 135^\circ$ и радиусом $l$ вычисляется по формуле:$C_{дуги} = \frac{2\pi l \alpha}{360^\circ}$

Приравнивая выражения для $C_{осн}$ и $C_{дуги}$, получаем связь между $r$ и $l$:$2\pi r = \frac{2\pi l \cdot 135^\circ}{360^\circ}$

Сократим обе части уравнения на $2\pi$:$r = l \cdot \frac{135}{360}$Упростим дробь: $\frac{135}{360} = \frac{135 \div 45}{360 \div 45} = \frac{3}{8}$.Таким образом, $r = \frac{3}{8}l$.

Теперь подставим это соотношение и данную высоту $h = 2\sqrt{55}$ см в формулу теоремы Пифагора:$l^2 = r^2 + h^2$$l^2 = \left(\frac{3}{8}l\right)^2 + (2\sqrt{55})^2$$l^2 = \frac{9}{64}l^2 + 4 \cdot 55$$l^2 = \frac{9}{64}l^2 + 220$

Выполним преобразования, чтобы найти $l$:$l^2 - \frac{9}{64}l^2 = 220$$\frac{64l^2 - 9l^2}{64} = 220$$\frac{55l^2}{64} = 220$$l^2 = \frac{220 \cdot 64}{55}$$l^2 = 4 \cdot 64 = 256$$l = \sqrt{256} = 16$ см.

Теперь найдем радиус основания $r$:$r = \frac{3}{8}l = \frac{3}{8} \cdot 16 = 6$ см.

Наконец, вычислим площадь полной поверхности конуса:$S_{полн} = \pi r (r+l) = \pi \cdot 6 \cdot (6+16) = 6\pi \cdot 22 = 132\pi$ см$^2$.

Ответ: $132\pi$ см$^2$.

142. Прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, содержащей его катет, прилежащий к данному углу. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося конуса.

142. Прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, содержащей его катет, прилежащий к данному углу. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося конуса.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов образуется конус. По условию, вращение происходит вокруг катета, прилежащего к острому углу $α$. В результате такого вращения получаются следующие параметры конуса:

• образующая конуса ($l$) равна гипотенузе исходного треугольника, следовательно, $l = c$;
• радиус основания конуса ($r$) равен другому катету, который является противолежащим к углу $α$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$.

Для нахождения площади нам нужно выразить радиус $r$ через известные величины $c$ и $α$. В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

Подставляя наши обозначения, получаем:$\sin(\alpha) = \frac{r}{c}$

Отсюда выражаем радиус основания конуса:$r = c \cdot \sin(\alpha)$

Теперь, зная радиус $r$ и образующую $l$, мы можем найти площадь боковой поверхности конуса, подставив их значения в формулу:$S_{бок} = \pi \cdot r \cdot l = \pi \cdot (c \cdot \sin(\alpha)) \cdot c = \pi c^2 \sin(\alpha)$

Ответ: $S_{бок} = \pi c^2 \sin(\alpha)$

143. Стороны треугольника равны 4 см, 13 см и 15 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите площадь поверхности тела вращения.

143. Стороны треугольника равны 4 см, 13 см и 15 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть стороны треугольника равны $a = 4$ см, $b = 13$ см и $c = 15$ см. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей его наибольшую сторону ($c = 15$ см).

В результате вращения образуется тело, состоящее из двух конусов с общим основанием. Образующими этих конусов являются две меньшие стороны треугольника ($l_1 = 4$ см и $l_2 = 13$ см). Радиус общего основания конусов ($r$) равен высоте треугольника ($h$), опущенной на наибольшую сторону.

Площадь поверхности этого тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.

$S_{тела} = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r (l_1 + l_2)$.

Чтобы найти радиус $r$, сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона.

1. Вычислим полупериметр треугольника ($p$):
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4+13+15}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

2. Вычислим площадь треугольника ($S_{\triangle}$):
$S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)}$
$S_{\triangle} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{16 \cdot 36} = 4 \cdot 6 = 24$ см$^2$.

3. Найдем высоту ($h$), опущенную на наибольшую сторону ($c=15$ см), используя другую формулу площади треугольника $S_{\triangle} = \frac{1}{2} c h$. Эта высота и будет радиусом ($r$) основания конусов.
$24 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h$
$h = \frac{24 \cdot 2}{15} = \frac{48}{15} = \frac{16}{5} = 3.2$ см.
Следовательно, $r = 3.2$ см.

4. Теперь можем найти площадь поверхности тела вращения:
$S_{тела} = \pi r (l_1 + l_2) = \pi \cdot 3.2 \cdot (4 + 13) = \pi \cdot 3.2 \cdot 17 = 54.4\pi$ см$^2$.

Ответ: $54.4\pi$ см$^2$.

144. Прямоугольный треугольник с катетом $a$ и противолежащим ему острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, содержащей гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.

144. Прямоугольный треугольник с катетом $a$ и противолежащим ему острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, содержащей гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Пусть катет $BC = a$ и противолежащий ему острый угол $\angle BAC = \alpha$. Второй острый угол $\angle ABC = 90^\circ - \alpha$.

Тело, полученное при вращении этого треугольника вокруг гипотенузы AB, состоит из двух конусов с общим основанием. Вершины этих конусов находятся в точках A и B.

Площадь поверхности этого тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ – радиус основания, а $L$ – длина образующей.

В нашем случае:

• Общим радиусом оснований $R$ обоих конусов является высота $h$, опущенная из вершины прямого угла C на гипотенузу AB.
• Образующими конусов являются катеты треугольника: $L_1 = AC = b$ и $L_2 = BC = a$.

Таким образом, искомая площадь поверхности $S$ равна:
$S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi R L_1 + \pi R L_2 = \pi h b + \pi h a = \pi h (a + b)$.

Теперь выразим $h$ и $b$ через известные величины $a$ и $\alpha$.

1. Найдём катет $b$.
Из прямоугольного треугольника ABC имеем:
$\text{ctg}(\alpha) = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a}$
Отсюда $b = a \cdot \text{ctg}(\alpha)$.

2. Найдём высоту $h$.
Проведём высоту CD = $h$ к гипотенузе AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. В нём $\angle CBD = 90^\circ - \alpha$. Следовательно, $\angle BCD = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.
Тогда из треугольника BCD:
$\cos(\angle BCD) = \frac{CD}{BC} \Rightarrow \cos(\alpha) = \frac{h}{a}$
Отсюда $h = a \cos(\alpha)$.

3. Подставим найденные значения в формулу площади.
$S = \pi h (a + b) = \pi (a \cos(\alpha)) (a + a \cdot \text{ctg}(\alpha))$
Вынесем $a$ из скобок:
$S = \pi a \cos(\alpha) \cdot a (1 + \text{ctg}(\alpha))$
$S = \pi a^2 \cos(\alpha) (1 + \text{ctg}(\alpha))$

Формулу можно также преобразовать:
$S = \pi a^2 \cos(\alpha) \left(1 + \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\right) = \pi a^2 \cos(\alpha) \frac{\sin(\alpha) + \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \pi a^2 \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} (\sin(\alpha) + \cos(\alpha))$
$S = \pi a^2 \text{ctg}(\alpha)(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))$

Оба варианта ответа являются верными. Оставим первый как более компактный.

Ответ: $S = \pi a^2 \cos(\alpha) (1 + \text{ctg}(\alpha))$