Номер 144, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

144. Прямоугольный треугольник с катетом $a$ и противолежащим ему острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, содержащей гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.

144. Прямоугольный треугольник с катетом $a$ и противолежащим ему острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, содержащей гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Пусть катет $BC = a$ и противолежащий ему острый угол $\angle BAC = \alpha$. Второй острый угол $\angle ABC = 90^\circ - \alpha$.

Тело, полученное при вращении этого треугольника вокруг гипотенузы AB, состоит из двух конусов с общим основанием. Вершины этих конусов находятся в точках A и B.

Площадь поверхности этого тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ – радиус основания, а $L$ – длина образующей.

В нашем случае:

• Общим радиусом оснований $R$ обоих конусов является высота $h$, опущенная из вершины прямого угла C на гипотенузу AB.
• Образующими конусов являются катеты треугольника: $L_1 = AC = b$ и $L_2 = BC = a$.

Таким образом, искомая площадь поверхности $S$ равна:
$S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi R L_1 + \pi R L_2 = \pi h b + \pi h a = \pi h (a + b)$.

Теперь выразим $h$ и $b$ через известные величины $a$ и $\alpha$.

1. Найдём катет $b$.
Из прямоугольного треугольника ABC имеем:
$\text{ctg}(\alpha) = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a}$
Отсюда $b = a \cdot \text{ctg}(\alpha)$.

2. Найдём высоту $h$.
Проведём высоту CD = $h$ к гипотенузе AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. В нём $\angle CBD = 90^\circ - \alpha$. Следовательно, $\angle BCD = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.
Тогда из треугольника BCD:
$\cos(\angle BCD) = \frac{CD}{BC} \Rightarrow \cos(\alpha) = \frac{h}{a}$
Отсюда $h = a \cos(\alpha)$.

3. Подставим найденные значения в формулу площади.
$S = \pi h (a + b) = \pi (a \cos(\alpha)) (a + a \cdot \text{ctg}(\alpha))$
Вынесем $a$ из скобок:
$S = \pi a \cos(\alpha) \cdot a (1 + \text{ctg}(\alpha))$
$S = \pi a^2 \cos(\alpha) (1 + \text{ctg}(\alpha))$

Формулу можно также преобразовать:
$S = \pi a^2 \cos(\alpha) \left(1 + \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\right) = \pi a^2 \cos(\alpha) \frac{\sin(\alpha) + \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \pi a^2 \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} (\sin(\alpha) + \cos(\alpha))$
$S = \pi a^2 \text{ctg}(\alpha)(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))$

Оба варианта ответа являются верными. Оставим первый как более компактный.

Ответ: $S = \pi a^2 \cos(\alpha) (1 + \text{ctg}(\alpha))$