Номер 145, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 8 см, а угол при основании — $15^\circ$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей его боковую сторону. Найдите площадь поверхности тела вращения.

145. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 8 см, а угол при основании — $15^\circ$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей его боковую сторону. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, в котором боковые стороны $AB = BC = 8$ см, а углы при основании $ \angle BAC = \angle BCA = 15^\circ $.

1. Найдем угол при вершине B.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине B равен:
$ \angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ $.

2. Опишем тело вращения.
Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей боковую сторону AB. Тело вращения, которое при этом образуется, состоит из двух конусов с общим основанием. Первый конус образован вращением стороны BC, его вершина — точка B, а образующая $l_1 = BC = 8$ см. Второй конус образован вращением стороны AC (основания треугольника), его вершина — точка A, а образующая $l_2 = AC$.
Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов:
$ S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r (l_1 + l_2) $, где $r$ — радиус общего основания конусов.

3. Найдем радиус общего основания $r$.
Радиус $r$ равен длине высоты треугольника ABC, опущенной из вершины C на прямую AB. Обозначим эту высоту CD.
Поскольку угол $ \angle ABC = 150^\circ $ является тупым, основание высоты D будет лежать на продолжении стороны AB за точку B.
Рассмотрим прямоугольный треугольник CDB. Угол $ \angle CBD $ является смежным с углом $ \angle ABC $, поэтому:
$ \angle CBD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ $.
В прямоугольном треугольнике CDB гипотенуза $BC = 8$ см. Катет CD, являющийся искомым радиусом $r$, противолежит углу $30^\circ$ и, следовательно, равен половине гипотенузы:
$ r = CD = BC \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 $ см.

4. Найдем длину образующей второго конуса $l_2 = AC$.
Для нахождения длины стороны AC воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC:
$ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) $
$ AC^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(150^\circ) $
Так как $ \cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:
$ AC^2 = 64 + 64 - 128 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 128 + 64\sqrt{3} = 64(2 + \sqrt{3}) $.
Следовательно, длина образующей $l_2$ равна:
$ l_2 = AC = \sqrt{64(2 + \sqrt{3})} = 8\sqrt{2 + \sqrt{3}} $ см.

5. Вычислим площадь поверхности тела вращения.
Теперь мы можем вычислить площадь поверхности, подставив найденные значения в формулу:
$ S = \pi r (l_1 + l_2) = \pi \cdot 4 \cdot (8 + 8\sqrt{2 + \sqrt{3}}) $
$ S = 32\pi (1 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}) $ см².

Ответ: $ S = 32\pi (1 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}) $ см².