Номер 194, страница 96 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

194. Шар касается всех сторон равнобокой трапеции, боковая сторона которой равна $4\sqrt{3}$ см, а острый угол — $60^\circ$. Найдите расстояние от центра шара до плоскости трапеции, если радиус шара равен 5 см.

194. Шар касается всех сторон равнобокой трапеции, боковая сторона которой равна $4\sqrt{3}$ см, а острый угол — $60^{\circ}$. Найдите расстояние от центра шара до плоскости трапеции, если радиус шара равен 5 см.

Пусть $O$ — центр шара, а $R$ — его радиус. По условию $R = 5$ см.

Так как шар касается всех сторон равнобокой трапеции, то проекция центра шара $O$ на плоскость трапеции совпадает с центром вписанной в трапецию окружности. Обозначим эту проекцию как $O'$.

Расстояние от центра шара до плоскости трапеции — это длина перпендикуляра $OO'$, обозначим ее $d$.

Рассмотрим точку касания $T$ шара с одной из сторон трапеции. Отрезок $OT$ является радиусом шара, и он перпендикулярен стороне трапеции. Отрезок $O'T$ является радиусом вписанной в трапецию окружности (обозначим его $r$), и он также перпендикулярен этой же стороне.

Треугольник $OO'T$ является прямоугольным с гипотенузой $OT = R$ и катетами $OO' = d$ и $O'T = r$. По теореме Пифагора:$R^2 = d^2 + r^2$

Чтобы найти $d$, нам нужно сначала найти радиус вписанной окружности $r$. Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты $h$:$r = \frac{h}{2}$

Найдем высоту трапеции. В равнобокой трапеции опустим высоту из вершины тупого угла на большее основание. Получим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции $c = 4\sqrt{3}$ см, а одним из острых углов — угол при основании трапеции $\alpha = 60°$. Высота $h$ является катетом, противолежащим этому углу.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике:$h = c \cdot \sin(\alpha) = 4\sqrt{3} \cdot \sin(60°)$

Так как $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:$h = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности:$r = \frac{h}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Подставим известные значения $R$ и $r$ в формулу теоремы Пифагора, чтобы найти искомое расстояние $d$:$d^2 = R^2 - r^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$$d = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.