Номер 182, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

182. Через конец радиуса шара проведена плоскость, образующая с этим радиусом угол 45°. Найдите площадь большого круга шара, если радиус проведённого сечения равен 5 см.

182. Через конец радиуса шара проведена плоскость, образующая с этим радиусом угол $45^\circ$. Найдите площадь большого круга шара, если радиус проведённого сечения равен 5 см.

Пусть $O$ - центр шара, а $R$ - его радиус. Пусть $OA$ - радиус, через конец которого (точку $A$) проведена секущая плоскость $\alpha$. В результате сечения шара этой плоскостью образуется круг. Обозначим центр этого круга как $C$, а его радиус как $r$. По условию задачи, радиус сечения $r = AC = 5$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAC$. Отрезок $OC$ соединяет центр шара с центром сечения, поэтому он перпендикулярен плоскости сечения $\alpha$. Следовательно, $OC \perp AC$, и треугольник $\triangle OAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. В этом треугольнике:

• $OA = R$ (гипотенуза) - радиус шара.
• $AC = r = 5$ см (катет) - радиус сечения.
• $OC$ (катет) - расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Угол между прямой (радиусом $OA$) и плоскостью ($\alpha$) - это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией наклонной $OA$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $AC$. Таким образом, угол между радиусом $OA$ и плоскостью сечения - это угол $\angle OAC$. По условию, $\angle OAC = 45^\circ$.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle OAC$ мы можем найти гипотенузу $R$, зная катет $AC$ и прилежащий острый угол $\angle OAC$. Воспользуемся определением косинуса:

$\cos(\angle OAC) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{OA}$

Подставим известные значения:

$\cos(45^\circ) = \frac{r}{R} = \frac{5}{R}$

Зная, что $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, выразим $R$:

$R = \frac{5}{\cos(45^\circ)} = \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Площадь большого круга шара вычисляется по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ - радиус самого шара.

Подставим найденное значение радиуса шара в формулу площади:

$S = \pi (5\sqrt{2})^2 = \pi (5^2 \cdot (\sqrt{2})^2) = \pi (25 \cdot 2) = 50\pi$ см$^2$.

Ответ: $50\pi$ см$^2$.