Номер 205, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

205. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 9 см и 15 см, а высота — $4\sqrt{2}$ см. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

205. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 9 см и 15 см, а высота — $4\sqrt{2}$ см. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная усечённая пирамида. Сторона нижнего основания $a_1 = 15$ см, сторона верхнего основания $a_2 = 9$ см, а высота пирамиды $h = 4\sqrt{2}$ см.

Центр шара, описанного около правильной усечённой пирамиды, лежит на её оси (высоте). Это означает, что для нахождения радиуса шара $R$ мы можем рассмотреть осевое сечение пирамиды, проходящее через диагонали оснований.

Такое сечение представляет собой равнобедренную трапецию, вершины которой лежат на большой окружности описанного шара. Радиус этой окружности и будет искомым радиусом шара.

Основаниями этой трапеции являются диагонали квадратов, лежащих в основаниях пирамиды.

1. Найдём длины диагоналей оснований (оснований трапеции в сечении).

Диагональ нижнего основания $d_1$:$d_1 = a_1\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$ см.

Диагональ верхнего основания $d_2$:$d_2 = a_2\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$ см.

Высота трапеции равна высоте пирамиды $h = 4\sqrt{2}$ см.

2. Найдём радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Введём систему координат так, чтобы ось $Oy$ совпадала с осью симметрии трапеции, а её большее основание лежало на оси $Ox$. Центр большего основания будет в начале координат $(0, 0)$.

Тогда координаты вершин трапеции будут:

• Вершины нижнего основания: $A(d_1/2, 0)$ и $B(-d_1/2, 0)$, то есть $A(15\sqrt{2}/2, 0)$ и $B(-15\sqrt{2}/2, 0)$.
• Вершины верхнего основания: $C(d_2/2, h)$ и $D(-d_2/2, h)$, то есть $C(9\sqrt{2}/2, 4\sqrt{2})$ и $D(-9\sqrt{2}/2, 4\sqrt{2})$.

Центр описанной окружности $O_c$ лежит на оси симметрии $Oy$, поэтому его координаты $(0, y_c)$. Радиус $R$ — это расстояние от центра $O_c$ до любой из вершин трапеции.

Приравняем квадраты расстояний от центра $O_c(0, y_c)$ до вершин $A$ и $C$:$R^2 = (OA)^2 = (x_A - 0)^2 + (y_A - y_c)^2 = (15\sqrt{2}/2)^2 + (0 - y_c)^2$$R^2 = (OC)^2 = (x_C - 0)^2 + (y_C - y_c)^2 = (9\sqrt{2}/2)^2 + (4\sqrt{2} - y_c)^2$

Получим уравнение:$(15\sqrt{2}/2)^2 + y_c^2 = (9\sqrt{2}/2)^2 + (4\sqrt{2} - y_c)^2$

$\frac{225 \cdot 2}{4} + y_c^2 = \frac{81 \cdot 2}{4} + (4\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot y_c + y_c^2$

$\frac{225}{2} + y_c^2 = \frac{81}{2} + 32 - 8\sqrt{2} y_c + y_c^2$

Сократим $y_c^2$ в обеих частях уравнения:$\frac{225}{2} = \frac{81}{2} + 32 - 8\sqrt{2} y_c$

Перенесём слагаемые, чтобы выразить $y_c$:$8\sqrt{2} y_c = \frac{81}{2} - \frac{225}{2} + 32$

$8\sqrt{2} y_c = -\frac{144}{2} + 32$

$8\sqrt{2} y_c = -72 + 32$

$8\sqrt{2} y_c = -40$

$y_c = -\frac{40}{8\sqrt{2}} = -\frac{5}{\sqrt{2}} = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$

Теперь, зная координату центра, найдём квадрат радиуса, подставив $y_c$ в первое уравнение для $R^2$:$R^2 = (\frac{15\sqrt{2}}{2})^2 + y_c^2 = \frac{225 \cdot 2}{4} + (-\frac{5\sqrt{2}}{2})^2$

$R^2 = \frac{225}{2} + \frac{25 \cdot 2}{4} = \frac{225}{2} + \frac{25}{2}$

$R^2 = \frac{250}{2} = 125$

Отсюда находим радиус $R$:$R = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$ см.

Ответ: $5\sqrt{5}$ см.