Номер 210, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

210. Найдите радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, если радиус окружности, описанной около её основания, равен $m$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\beta$.

210. Найдите радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, если радиус окружности, описанной около её основания, равен $m$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\beta$.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$. Основание $ABC$ — правильный треугольник. $SO$ — высота пирамиды, где $O$ — центр основания (центр вписанной и описанной окружностей).

По условию, радиус окружности, описанной около основания $ABC$, равен $m$. Обозначим его $R$. Таким образом, $R = OA = m$.

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности $r$ и радиус описанной окружности $R$ связаны соотношением $R = 2r$. Отсюда находим радиус вписанной в основание окружности:

$r = \frac{R}{2} = \frac{m}{2}$

Пусть $M$ — середина ребра основания $BC$. Тогда отрезок $OM$ является радиусом вписанной в основание окружности, то есть $OM = r = \frac{m}{2}$. Апофема боковой грани $SBC$ — это отрезок $SM$.

Двугранный угол при ребре основания $BC$ — это угол между плоскостью боковой грани $(SBC)$ и плоскостью основания $(ABC)$. Этот угол измеряется линейным углом $\angle SMO$, который по условию равен $\beta$.

Центр вписанного в пирамиду шара (обозначим его $I$) лежит на высоте пирамиды $SO$ и равноудален от всех ее граней. Радиус вписанного шара (обозначим его $r_ш$) равен расстоянию от центра $I$ до плоскости основания, то есть $IO = r_ш$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через высоту $SO$ и апофему $SM$. Это сечение — прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (с прямым углом при вершине $O$). В этом сечении центр вписанного шара $I$ лежит на катете $SO$.

Так как центр вписанного шара $I$ равноудален от плоскости основания (которой принадлежит прямая $OM$) и от боковой грани (которой принадлежит прямая $SM$), то точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle SMO$. Таким образом, $MI$ — биссектриса угла $\angle SMO$.

Следовательно, угол $\angle IMO = \frac{1}{2} \angle SMO = \frac{\beta}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle IOM$. В нем катет $IO = r_ш$, катет $OM = r = \frac{m}{2}$, а угол, противолежащий катету $IO$, равен $\angle IMO = \frac{\beta}{2}$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\angle IMO) = \frac{IO}{OM}$

Подставим известные значения:

$\tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{r_ш}{m/2}$

Отсюда выражаем искомый радиус вписанного шара $r_ш$:

$r_ш = \frac{m}{2} \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)$

Ответ: $\frac{m}{2} \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)$