Номер 216, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

216. В шар, радиус которого равен 7 см, вписан цилиндр, высота которого равна диаметру его основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

216. В шар, радиус которого равен $7 \text{ см}$, вписан цилиндр, высота которого равна диаметру его основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Обозначим радиус шара как $R$, радиус основания вписанного цилиндра как $r$, а его высоту как $H$.

Из условия задачи нам известно:
1. Радиус шара $R = 7$ см.
2. Высота цилиндра равна диаметру его основания, то есть $H = 2r$.

Рассмотрим осевое сечение, проходящее через центр шара и ось цилиндра. Сечением шара будет большой круг радиуса $R$, а сечением цилиндра — прямоугольник со сторонами $H$ и $2r$. Так как цилиндр вписан в шар, вершины этого прямоугольника лежат на окружности большого круга.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), радиусом основания цилиндра $r$ (катет) и половиной высоты цилиндра $\frac{H}{2}$ (второй катет). По теореме Пифагора:
$R^2 = r^2 + (\frac{H}{2})^2$

Подставим в это уравнение данные из условия. Мы знаем, что $R = 7$ и $H = 2r$, следовательно, $\frac{H}{2} = \frac{2r}{2} = r$.
$7^2 = r^2 + r^2$
$49 = 2r^2$
Отсюда получаем:
$r^2 = \frac{49}{2}$

Нам нужно найти площадь боковой поверхности цилиндра, которая вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2 \pi r H$

Снова используем соотношение $H = 2r$ для преобразования формулы площади:
$S_{бок} = 2 \pi r (2r) = 4 \pi r^2$

Теперь подставим найденное значение $r^2 = \frac{49}{2}$ в формулу для площади боковой поверхности:
$S_{бок} = 4 \pi \cdot \frac{49}{2} = 2 \cdot 49 \pi = 98 \pi$

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна $98 \pi$ см$^2$.

Ответ: $98 \pi$ см$^2$.