Номер 221, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

221. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 см и 9 см, а его образующая — $\sqrt{61}$ см. Найдите радиус сферы, описанной около данного усечённого конуса.

221. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 см и 9 см, а его образующая — $\sqrt{61}$ см. Найдите радиус сферы, описанной около данного усечённого конуса.

Радиус сферы, описанной около усечённого конуса, равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения этого конуса. Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобокую трапецию.

Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса: $a = 2r_2 = 2 \cdot 9 = 18$ см и $b = 2r_1 = 2 \cdot 3 = 6$ см. Боковая сторона трапеции равна образующей конуса $l = \sqrt{61}$ см.

1. Найдем высоту трапеции (и усеченного конуса) $H$.
Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Получится прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — это образующая $l$, один катет — это высота $H$, а второй катет равен полуразности оснований трапеции, то есть $r_2 - r_1$.
По теореме Пифагора:
$H^2 + (r_2 - r_1)^2 = l^2$
$H^2 + (9 - 3)^2 = (\sqrt{61})^2$
$H^2 + 6^2 = 61$
$H^2 + 36 = 61$
$H^2 = 61 - 36 = 25$
$H = \sqrt{25} = 5$ см.

2. Найдем диагональ трапеции $d$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю трапеции, ее высотой $H$ и частью большего основания. Длина этой части основания равна $a - (r_2 - r_1) = 2r_2 - (r_2-r_1) = r_2+r_1$.
Катеты этого треугольника равны $H = 5$ см и $r_1 + r_2 = 3 + 9 = 12$ см. Гипотенуза — диагональ $d$.
По теореме Пифагора:
$d^2 = H^2 + (r_1 + r_2)^2$
$d^2 = 5^2 + 12^2$
$d^2 = 25 + 144 = 169$
$d = \sqrt{169} = 13$ см.

3. Найдем радиус $R$ описанной окружности.
Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного боковой стороной, диагональю и большим основанием трапеции. Стороны этого треугольника: $18$ см, $\sqrt{61}$ см и $13$ см.
Радиус описанной окружности $R$ для треугольника со сторонами $s_1, s_2, s_3$ и площадью $S$ вычисляется по формуле: $R = \frac{s_1 s_2 s_3}{4S}$.
Площадь нашего треугольника равна половине произведения его основания (большее основание трапеции) на высоту (высота трапеции):
$S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 5 = 45$ см$^2$.
Теперь найдем радиус $R$:
$R = \frac{18 \cdot \sqrt{61} \cdot 13}{4 \cdot 45} = \frac{18 \cdot 13 \cdot \sqrt{61}}{180} = \frac{13 \sqrt{61}}{10}$ см.

Ответ: $\frac{13\sqrt{61}}{10}$ см.