Номер 227, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

227. Центр шара, вписанного в конус, делит его высоту на отрезки, длины которых равны 34 см и 16 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

227. Центр шара, вписанного в конус, делит его высоту на отрезки, длины которых равны 34 см и 16 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением шара — круг, вписанный в этот треугольник. Высота конуса $H$ является высотой этого треугольника, а центр вписанного шара совпадает с центром вписанного круга.

Пусть $V$ — вершина конуса, $O_c$ — центр его основания, тогда $H = VO_c$ — высота конуса. Центр вписанного шара $O_ш$ лежит на высоте $VO_c$. По условию, точка $O_ш$ делит высоту на отрезки длиной 34 см и 16 см. Таким образом, высота конуса $H$ равна сумме длин этих отрезков: $H = 34 + 16 = 50$ см.

Радиус вписанного шара $r$ равен расстоянию от его центра $O_ш$ до основания конуса. Следовательно, $r = O_шO_c$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей конуса, высотой и радиусом шара. Пусть $K$ — точка касания шара с образующей конуса. Тогда треугольник $VO_шK$ является прямоугольным (с прямым углом при вершине $K$), где $VO_ш$ — гипотенуза, а $O_шK = r$ — катет. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее катета, поэтому должно выполняться неравенство $VO_ш > r$.

У нас есть два отрезка: $VO_ш$ (расстояние от вершины конуса до центра шара) и $O_шO_c = r$ (радиус шара). Их длины — 34 см и 16 см. Исходя из неравенства $VO_ш > r$, мы можем однозначно определить: $VO_ш = 34$ см, $r = 16$ см.

Теперь найдем радиус основания конуса $R$ и его образующую $L$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle VO_cA$, где $A$ — точка на окружности основания. $VO_c = H = 50$ см, $O_cA = R$, $VA = L$. Рассмотрим также прямоугольный треугольник $\triangle VO_шK$. Треугольники $\triangle VO_cA$ и $\triangle VO_шK$ подобны по двум углам (оба прямоугольные и имеют общий угол при вершине $V$).

Из подобия треугольников следует соотношение сторон: $ \frac{R}{r} = \frac{L}{VO_ш} $ Подставим известные значения: $ \frac{R}{16} = \frac{L}{34} $ Отсюда выразим $R$ через $L$: $ R = \frac{16}{34}L = \frac{8}{17}L $

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle VO_cA$: $ L^2 = H^2 + R^2 $ Подставим известные значения $H$ и выражение для $R$: $ L^2 = 50^2 + (\frac{8}{17}L)^2 $ $ L^2 = 2500 + \frac{64}{289}L^2 $ $ L^2 - \frac{64}{289}L^2 = 2500 $ $ L^2(1 - \frac{64}{289}) = 2500 $ $ L^2(\frac{289-64}{289}) = 2500 $ $ L^2 \cdot \frac{225}{289} = 2500 $ $ L^2 = 2500 \cdot \frac{289}{225} $ $ L = \sqrt{2500 \cdot \frac{289}{225}} = 50 \cdot \frac{17}{15} = \frac{10 \cdot 17}{3} = \frac{170}{3} $ см.

Теперь найдем радиус основания конуса $R$: $ R = \frac{8}{17}L = \frac{8}{17} \cdot \frac{170}{3} = \frac{8 \cdot 10}{3} = \frac{80}{3} $ см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $ S_{бок} = \pi R L $ Подставим найденные значения $R$ и $L$: $ S_{бок} = \pi \cdot \frac{80}{3} \cdot \frac{170}{3} = \frac{13600}{9}\pi $ см².

Ответ: $ \frac{13600}{9}\pi $ см².