Номер 229, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

229. В конус, радиус основания которого равен 1 см, вписана сфера. Угол между образующей и плоскостью основания конуса равен $45^\circ$. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

229. В конус, радиус основания которого равен 1 см, вписана сфера. Угол между образующей и плоскостью основания конуса равен 45°. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанной в него сферы. Сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением сферы — окружность, вписанная в этот треугольник.

Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр основания, $A$ — точка на окружности основания. Тогда $SO$ — высота конуса $H$, $OA$ — радиус основания $R$, а $SA$ — образующая $L$. Угол между образующей и плоскостью основания — это угол $\angle SAO$.

По условию, радиус основания конуса $R = 1$ см и угол между образующей и плоскостью основания $\angle SAO = 45°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$. Так как $\angle SAO = 45°$ и $\angle SOA = 90°$, то треугольник является равнобедренным, и его катеты равны: $H = SO = OA = R = 1$ см. Угол при вершине конуса $\angle ASO$ также равен $45°$.

Линия, по которой сфера касается боковой поверхности конуса, представляет собой окружность, которая лежит в плоскости, перпендикулярной оси конуса. Найдём радиус этой окружности, обозначим его $R_к$.

Центр вписанной сферы $O'$ лежит на оси конуса $SO$. Пусть $r$ — радиус вписанной сферы. Проведем радиус $O'K$ из центра сферы к точке касания $K$ на образующей $SA$. Отрезок $O'K$ перпендикулярен образующей $SA$, и его длина равна $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SO'K$. В нем $O'K = r$, а гипотенуза $SO' = SO - O'O = H - r = 1 - r$. Угол $\angle KSO$ равен углу $\angle ASO$, который, как мы нашли, равен $45°$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle SO'K$ имеем: $\sin(\angle KSO) = \frac{O'K}{SO'} = \frac{r}{1-r}$

Подставляем значение угла: $\sin(45°) = \frac{r}{1-r}$ $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{r}{1-r}$

Решим это уравнение относительно $r$: $\sqrt{2}(1-r) = 2r$ $\sqrt{2} - r\sqrt{2} = 2r$ $\sqrt{2} = r(2+\sqrt{2})$ $r = \frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2}-2}{4-2} = \sqrt{2}-1$ см.

Радиус $R_к$ окружности касания — это расстояние от точки касания $K$ на образующей до оси конуса $SO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой $K$, её проекцией на ось $SO$ и вершиной $S$. В этом треугольнике $R_к$ является катетом, противолежащим углу $\angle KSO = 45°$. Гипотенузой является отрезок $SK$.

Найдем длину отрезка $SK$ из треугольника $\triangle SO'K$: $SK = \sqrt{(SO')^2 - (O'K)^2}$ $SO' = 1 - r = 1 - (\sqrt{2}-1) = 2 - \sqrt{2}$ $SK = \sqrt{(2-\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{(4 - 4\sqrt{2} + 2) - (2 - 2\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{6 - 4\sqrt{2} - 3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$ Заметим, что $3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2$. $SK = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1$ см.

Теперь можем найти радиус окружности касания $R_к$: $R_к = SK \cdot \sin(\angle KSO) = (\sqrt{2}-1) \cdot \sin(45°) = (\sqrt{2}-1) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Искомая длина линии касания — это длина окружности с радиусом $R_к$: $C = 2\pi R_к = 2\pi \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi(2-\sqrt{2})$ см.

Ответ: $ \pi (2 - \sqrt{2}) $ см.