Номер 223, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

223. Радиусы оснований усечённого конуса равны $R$ и $r$, $R > r$, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса.

223. Радиусы оснований усечённого конуса равны $R$ и $r$, $R > r$, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Это равнобокая трапеция, основания которой равны диаметрам оснований конуса ($2R$ и $2r$), а боковые стороны являются образующими конуса.

Пусть высота конуса (и трапеции) равна $h$. Диагональ осевого сечения образует с плоскостью большего основания угол $\alpha$. Проекция этой диагонали на плоскость большего основания представляет собой отрезок, соединяющий концы диаметров разных оснований. Длина этой проекции равна $R+r$. Из прямоугольного треугольника, образованного диагональю, ее проекцией и высотой конуса, находим высоту $h$:

$ \tan \alpha = \frac{h}{R+r} \implies h = (R+r) \tan \alpha $

Шар, описанный около усеченного конуса, имеет своим центром точку на оси конуса. Окружности оснований конуса лежат на поверхности этого шара. Следовательно, радиус описанного шара, обозначим его $R_{сф}$, равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения (равнобокой трапеции).

Для нахождения радиуса этой окружности воспользуемся координатным методом. Разместим осевое сечение в системе координат $xy$. Пусть ось $y$ совпадает с осью конуса, а центр большего основания находится в начале координат $(0,0)$. Тогда вершины трапеции, соответствующие концам одного диаметра большего основания и одного диаметра меньшего основания, будут иметь координаты $A(R, 0)$ и $C(r, h)$.

Центр описанной окружности (и сферы) лежит на оси $y$, пусть его координаты $(0, y_c)$. Радиус сферы $R_{сф}$ — это расстояние от центра до любой вершины трапеции. Запишем уравнения, используя расстояние до точек $A$ и $C$:

$ R_{сф}^2 = (R-0)^2 + (0-y_c)^2 = R^2 + y_c^2 $

$ R_{сф}^2 = (r-0)^2 + (h-y_c)^2 = r^2 + (h-y_c)^2 $

Приравнивая правые части, найдем координату центра $y_c$:

$ R^2 + y_c^2 = r^2 + h^2 - 2hy + y_c^2 $

$ R^2 = r^2 + h^2 - 2hy $

$ 2hy = h^2 + r^2 - R^2 $

$ y_c = \frac{h^2 + r^2 - R^2}{2h} $

Теперь подставим найденное значение $y_c$ в первое уравнение, чтобы найти квадрат радиуса сферы $R_{сф}^2$:

$ R_{сф}^2 = R^2 + \left( \frac{h^2 + r^2 - R^2}{2h} \right)^2 = \frac{4h^2R^2 + (h^2 + r^2 - R^2)^2}{4h^2} $

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые в числителе:

$ R_{сф}^2 = \frac{4h^2R^2 + h^4 + (r^2 - R^2)^2 + 2h^2(r^2 - R^2)}{4h^2} = \frac{h^4 + (R^2 - r^2)^2 + 2h^2(2R^2 + r^2 - R^2)}{4h^2} = \frac{h^4 + 2h^2(R^2 + r^2) + (R^2 - r^2)^2}{4h^2} $

Это выражение можно свернуть как произведение:

$ R_{сф}^2 = \frac{(h^2 + (R-r)^2)(h^2 + (R+r)^2)}{4h^2} $

Теперь подставим $h = (R+r) \tan \alpha$ в это выражение. Сначала найдем значения для скобок в числителе:

$ h^2 + (R+r)^2 = (R+r)^2 \tan^2 \alpha + (R+r)^2 = (R+r)^2(\tan^2 \alpha + 1) = \frac{(R+r)^2}{\cos^2 \alpha} $

$ h^2 + (R-r)^2 = (R+r)^2 \tan^2 \alpha + (R-r)^2 $

Подставляем обратно в формулу для $R_{сф}^2$:

$ R_{сф}^2 = \frac{((R+r)^2 \tan^2 \alpha + (R-r)^2) \cdot \frac{(R+r)^2}{\cos^2 \alpha}}{4((R+r) \tan \alpha)^2} = \frac{(R+r)^2 \tan^2 \alpha + (R-r)^2}{4 \tan^2 \alpha \cos^2 \alpha} $

Заменим $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

$ R_{сф}^2 = \frac{(R+r)^2 \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + (R-r)^2}{4 \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cos^2 \alpha} = \frac{(R+r)^2 \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + (R-r)^2}{4 \sin^2 \alpha} $

Умножим числитель и знаменатель на $\cos^2 \alpha$:

$ R_{сф}^2 = \frac{(R+r)^2 \sin^2 \alpha + (R-r)^2 \cos^2 \alpha}{4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} $

Раскроем скобки в числителе и используем тригонометрические тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ и $\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha$:

$ R_{сф}^2 = \frac{(R^2+2Rr+r^2)\sin^2 \alpha + (R^2-2Rr+r^2)\cos^2 \alpha}{(2\sin \alpha \cos \alpha)^2} $

$ R_{сф}^2 = \frac{R^2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + r^2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2Rr(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)}{\sin^2(2\alpha)} $

$ R_{сф}^2 = \frac{R^2 + r^2 - 2Rr\cos(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)} $

Извлекая квадратный корень, получаем искомый радиус шара. Поскольку угол $\alpha$ в прямоугольном треугольнике острый, $0 < 2\alpha < 180^\circ$, и, следовательно, $\sin(2\alpha) > 0$.

$ R_{сф} = \frac{\sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos(2\alpha)}}{\sin(2\alpha)} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos(2\alpha)}}{\sin(2\alpha)} $