Номер 220, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

220. Около конуса, осевым сечением которого является остроугольный треугольник, описан шар радиуса $R$. Угол между образующей конуса и его высотой равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

220. Около конуса, осевым сечением которого является остроугольный треугольник, описан шар радиуса $R$. Угол между образующей конуса и его высотой равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

Для нахождения площади боковой поверхности конуса, $S_{бок}$, воспользуемся формулой $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – радиус основания конуса, а $l$ – его образующая.

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанного вокруг него шара. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, а осевым сечением шара – большой круг. Так как шар описан около конуса, вершины осевого сечения конуса лежат на этом большом круге. Таким образом, большой круг шара радиуса $R$ является окружностью, описанной около равнобедренного треугольника (осевого сечения конуса).

Пусть высота конуса равна $H$, радиус основания $r$, а образующая $l$. Угол между образующей и высотой равен $\alpha$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей конуса, имеем следующие соотношения:

$r = l \cdot \sin(\alpha)$

$H = l \cdot \cos(\alpha)$

Центр описанного шара $O$ лежит на высоте конуса (оси симметрии). Пусть $A$ – вершина конуса, $H_{осн}$ – центр его основания. Тогда высота конуса – это отрезок $AH_{осн}$, равный $H$. Расстояние от центра шара $O$ до вершины конуса $A$ и до любой точки на окружности основания равно радиусу шара $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара к точке на окружности основания ($R$), радиусом основания конуса ($r$) и отрезком $OH_{осн}$ (расстояние от центра шара до плоскости основания конуса). По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + (OH_{осн})^2$

Поскольку осевое сечение является остроугольным треугольником, центр описанной окружности $O$ находится внутри треугольника, то есть на высоте $H$ между вершиной $A$ и основанием. Расстояние от центра шара до вершины конуса $OA = R$. Тогда расстояние от центра шара до основания конуса $OH_{осн} = H - OA = H - R$.

Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

$R^2 = r^2 + (H - R)^2$

$R^2 = r^2 + H^2 - 2HR + R^2$

$0 = r^2 + H^2 - 2HR$

Из геометрии конуса мы знаем, что $l^2 = r^2 + H^2$. Заменим $r^2 + H^2$ на $l^2$:

$l^2 - 2HR = 0 \implies l^2 = 2HR$

Теперь подставим в это соотношение выражение для $H$ через $l$ и $\alpha$: $H = l \cos(\alpha)$.

$l^2 = 2R(l \cos(\alpha))$

Поскольку $l \neq 0$, разделим обе части на $l$:

$l = 2R \cos(\alpha)$

Теперь найдем радиус основания $r$:

$r = l \sin(\alpha) = (2R \cos(\alpha)) \sin(\alpha) = 2R \sin(\alpha) \cos(\alpha)$

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) $, получаем:

$r = R \sin(2\alpha)$

Наконец, найдем площадь боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi r l = \pi (R \sin(2\alpha)) (2R \cos(\alpha)) = 2\pi R^2 \sin(2\alpha) \cos(\alpha)$

Условие, что осевое сечение является остроугольным треугольником, означает, что все его углы меньше $90^\circ$. Угол при вершине равен $2\alpha$, а углы при основании – $90^\circ - \alpha$. Условия остроугольности: $2\alpha < 90^\circ$ и $90^\circ - \alpha < 90^\circ$, что дает $0 < \alpha < 45^\circ$. При этих значениях $\alpha$ все тригонометрические функции в ответе положительны.

Ответ: $2\pi R^2 \sin(2\alpha) \cos(\alpha)$