Номер 214, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

214. В правильную четырёхугольную усечённую пирамиду вписан шар, радиус которого равен $R$. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре её большего основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

214. В правильную четырёхугольную усечённую пирамиду вписан шар, радиус которого равен $R$. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре её большего основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная усеченная пирамида. В основаниях лежат квадраты со сторонами $a$ (большее основание) и $b$ (меньшее основание). Пусть $h_a$ — апофема (высота боковой грани) усеченной пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований. Поскольку основания являются квадратами, $P_1 = 4a$ и $P_2 = 4b$. Таким образом, формула для площади боковой поверхности принимает вид: $S_{бок} = \frac{4a + 4b}{2} \cdot h_a = 2(a+b)h_a$.

По условию, в усеченную пирамиду вписан шар радиуса $R$. Это означает, что шар касается обоих оснований пирамиды. Следовательно, высота пирамиды $H$ равна диаметру шара: $H = 2R$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через середины противоположных сторон оснований. Такое сечение является равнобокой трапецией. Основания этой трапеции равны сторонам оснований пирамиды ($a$ и $b$), боковые стороны равны апофеме $h_a$, а высота этой трапеции равна высоте пирамиды $H=2R$. В эту трапецию вписана окружность, которая является сечением вписанного шара и имеет радиус $R$.

Двугранный угол при ребре большего основания равен $60^\circ$. В рассматриваемом сечении этот угол ($\alpha$) является углом при большем основании трапеции. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой $h_a$ (гипотенуза), высотой $H$ (катет) и проекцией апофемы на плоскость основания. В этом треугольнике угол, противолежащий катету $H$, равен $\alpha = 60^\circ$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $\sin(\alpha) = \frac{H}{h_a}$ Отсюда выразим апофему $h_a$: $h_a = \frac{H}{\sin(\alpha)} = \frac{2R}{\sin(60^\circ)} = \frac{2R}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4R}{\sqrt{3}}$.

Так как в трапецию (осевое сечение) можно вписать окружность, для неё выполняется свойство описанного четырехугольника: суммы длин противоположных сторон равны. $a + b = h_a + h_a = 2h_a$.

Теперь мы можем подставить это соотношение в формулу площади боковой поверхности: $S_{бок} = 2(a+b)h_a = 2(2h_a)h_a = 4h_a^2$. Подставим найденное значение апофемы $h_a$: $S_{бок} = 4 \left(\frac{4R}{\sqrt{3}}\right)^2 = 4 \cdot \frac{16R^2}{3} = \frac{64R^2}{3}$.

Ответ: $\frac{64R^2}{3}$