Номер 247, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

247. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны 4 см и $4\sqrt{3}$ см. Плоскость, проходящая через вершины $A$, $B_1$ и $C$, образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Найдите объём параллелепипеда.

247. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны 4 см и $4\sqrt{3}$ см. Плоскость, проходящая через вершины $A$, $B_1$ и $C$, образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Стороны основания $ABCD$ равны $AB = 4\sqrt{3}$ см и $BC = 4$ см. Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота параллелепипеда.

1. Найдем площадь основания. Так как в основании лежит прямоугольник, его площадь равна произведению сторон:$S_{осн} = AB \cdot BC = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Найдем высоту параллелепипеда $h = BB_1$. Угол между плоскостью сечения $(AB_1C)$ и плоскостью основания $(ABC)$ — это двугранный угол между ними. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AC$.

Для нахождения этого угла построим его линейный угол. В плоскости основания $(ABC)$ проведем из точки $B$ перпендикуляр $BH$ к прямой $AC$. Таким образом, $BH \perp AC$.Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, следовательно, $BH$ является проекцией наклонной $B_1H$ на плоскость $(ABC)$. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция прямой ($BH$) перпендикулярна другой прямой ($AC$), то и сама наклонная ($B_1H$) перпендикулярна этой прямой ($AC$). Значит, $B_1H \perp AC$.

Так как $BH \perp AC$ и $B_1H \perp AC$, то угол $\angle B_1HB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(AB_1C)$ и $(ABC)$. По условию задачи, $\angle B_1HB = 60^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $\triangle B_1BH$. Он прямоугольный, так как ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит и любой прямой в этой плоскости, т.е. $BB_1 \perp BH$.Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan(\angle B_1HB) = \frac{BB_1}{BH}$Отсюда высота параллелепипеда $h = BB_1 = BH \cdot \tan(60^\circ) = BH \cdot \sqrt{3}$.

4. Найдем длину высоты $BH$ из треугольника $ABC$. Треугольник $ABC$ — прямоугольный ($ \angle B = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AC$:$AC^2 = AB^2 + BC^2 = (4\sqrt{3})^2 + 4^2 = 16 \cdot 3 + 16 = 48 + 16 = 64$$AC = \sqrt{64} = 8$ см.

Площадь треугольника $ABC$ можно найти двумя способами:$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 = 8\sqrt{3}$ см$^2$.$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot BH = 4 \cdot BH$.Приравняв эти два выражения для площади, получим:$4 \cdot BH = 8\sqrt{3}$$BH = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$ см.

5. Теперь можем вычислить высоту параллелепипеда $h$:$h = BH \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$ см.

6. Наконец, находим объем параллелепипеда:$V = S_{осн} \cdot h = 16\sqrt{3} \cdot 6 = 96\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $96\sqrt{3}$ см$^3$.