Номер 290, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

290. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите отношение объёма этой призмы к объёму цилиндра.

290. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите отношение объёма этой призмы к объёму цилиндра.

Для нахождения отношения объёма правильной шестиугольной призмы к объёму цилиндра, в который она вписана, необходимо выразить объёмы обеих фигур через общие параметры и найти их частное.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Объём цилиндра ($V_{цил}$) вычисляется по формуле: $V_{цил} = S_{осн.цил} \cdot h = \pi R^2 h$.

Поскольку призма вписана в цилиндр, её высота также равна $h$, а её основание (правильный шестиугольник) вписано в окружность основания цилиндра.

Объём призмы ($V_{пр}$) вычисляется по формуле: $V_{пр} = S_{осн.пр} \cdot h$.

Найдём площадь основания призмы — правильного шестиугольника ($S_{осн.пр}$). Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. Таким образом, сторона шестиугольника $a$ равна радиусу основания цилиндра $R$, то есть $a = R$.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ можно найти по формуле, которая получается из суммы площадей шести равносторонних треугольников, на которые его можно разбить: $S_{шест} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$.

Подставив $a = R$, получим площадь основания призмы: $S_{осн.пр} = \frac{3R^2 \sqrt{3}}{2}$.

Теперь можем найти объём призмы: $V_{пр} = S_{осн.пр} \cdot h = \frac{3\sqrt{3}}{2} R^2 h$.

Наконец, найдём искомое отношение объёма призмы к объёму цилиндра: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2} R^2 h}{\pi R^2 h}$.

Сокращая общие множители $R^2$ и $h$ в числителе и знаменателе, получаем: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$.